Решить систему линейных уравнений

Метод Гаусса:

Решение ручным способом:

Прямой ход.

1.Выполним нормирование первого уравнения системы. Разделим первое уравнение системы на коэффициент при х₁

2.Умножим полученное уравнение на коэффициент при х₁ второго уравнения

3.Вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы

Получим новую систему линейных уравнений

4.Рассмотрим новую систему уравнений, исключив из нее первое уравнение

(1)

Нормируем первое уравнение из полученной системы (1)

(2)

Умножим полученное уравнение (2) на коэффициент при х₂ второго уравнения системы

(3)

И третьего уравнения

(4)

Вычтем полученное уравнение (3) из второго уравнения системы (1)

Вычтем полученное уравнение (4) из третьего уравнения системы (1)

Получим новую систему

5.Рассмотрим новую систему уравнений, исключив из нее первое уравнение

(5)

Нормируем первое уравнение из полученной системы (5)

(6)

Умножим полученное уравнение (6) на коэффициент при х₃ второго уравнения системы (5)

(7)

Вычтем полученное уравнение (7) из второго уравнения системы (5)

Получим новую систему

(8)

Нормируем последнее уравнение системы (8)

Вывод: в результате проведенных вычислений получили эквивалентную исходной систему, приведенную к треугольному виду

(9)

Обратный ход.

Выполним проверку найденных значений переменных

Решение в Microsoft Excel

Запишем систему

X1	X2	X3	X4	B
7	1	3	2	2
1	2	-7	15	5
0	5	4	0	3
0	1	18	-3	4

Выполним нормирование первого уравнения системы. Затем умножим коэффициенты нормированного уравнения на коэффициенты при х₁ во втором уравнении. Получим новую систему, коэффициенты которой при х₁ равны нулю

1	0,142857	0,428571	0,285714	0,285714
0	1,857143	-7,42857	14,71429	4,714286
0	5	4	0	3
0	1	18	-3	4

Рассмотрим систему без первого уравнения

X2	X3	X4	B
1,857143	-7,42857	14,71429	4,714286
5	4	0	3
1	18	-3	4

Выполним нормирование первого уравнения системы. Затем умножим коэффициенты нормированного уравнения на коэффициенты при х₂ в оставшихся уравнениях. Получим новую систему, коэффициенты которой при х₂ равны нулю

1	-4	7,923077	2,538462
0	24	-39,6154	-9,69231
0	22	-10,9231	1,461538

Рассмотрим систему без первого уравнения

X3	X4	B
24	-39,6154	-9,69231
22	-10,9231	1,461538

Выполним нормирование первого уравнения системы. Затем умножим коэффициенты нормированного уравнения на коэффициенты при х₃ во втором уравнении. Получим новую систему, коэффициенты которой при х₃ равны нулю

1	-1,65064	-0,40385
0	0	0
0	25,39103	10,34615

Рассмотрим систему без первого уравнения

X4	B
25,39103	10,34615

Находим из этого уравнения х₄

1

0,407473

Затем находим остальные неизвестные переменные

X1	X2	X3	X4
-0,00088	0,385004	0,268745	0,407473

Выполним проверку и сравним полученные результаты

Проверка
2		2
5,000002		5
3		3
4		4

Решение в MathCAD

Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор свободных членов:

Запишем формулу отыскания точного решения по методу Гаусса

Выполним вычисление неизвестных

Выполним проверку полученного решения