Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Пусть прямая проходит через две точки
.
Если мы возьмем вектор
в качестве направляющего вектора прямой, получим параметрические и канонические уравнения прямой в следующем виде:
( 22 )
На практике иногда бывает лучше взять
и применить уравнения (20), (21).
Пример. Составить канонические и
параметрические уравнения прямой,
проходящей через две точки
.
Направляющий вектор прямой
,
и на основании уравнений (20), (21)
Прямая перпендикулярна оси Ox.
Общие уравнения прямой
Прямая может быть задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.
Пусть
,
- две непараллельные плоскости, то есть
их нормальные векторы
неколлинеарны. В этом случае система
двух линейных уравнеий
( 23 )
представляет
прямую l как линию
пересечения плоскостей
(рис. 12). Уравнения (23) называются общими
уравнениями прямой.
Легко перейти от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям. Рис. 12 Пусть, например,
.
В этом случае мы полагаем
в общих уравнениях (23) и получаем систему
уравнений относительно x
и y
С отличным от нуля главным определителем. Находя из этой системы x, y, мы получаем параметрические уравнения прямой.
Существует иной способ перехода от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим. Мы можем найти направляющий вектор прямой
(рис. 12)
и затем какую-нибудь ее точку, полагая,
например,
в уравнениях (23).
Пример. Перейти к параметрическим и каноническим уравнениям прямой, заданной общими уравнениями
Первый способ. Полагая
,
получаем систему уравнений относительно
x, y
,
,
и параметрические уравнения прямой суть
( * )
Из уравнений ( * ) мы получаем точку
прямой и ее направляющий вектор
.
Мы можем улучшить полученные уравнения
( * ). Во-первых, мы можем взять направляющий
вектор прямой в виде
и получить
Полагая далее
,
мы получаем точку прямой с целыми
координатами
.
Наконец, мы записываем усовершенствованные
параметрические и канонические уравнения
прямой
.
Второй способ. Направляющий вектор прямой
.
Полагая далее
в общих уравнениях прямой и решая систему
уравнений
получаем точку прямой
и составляем искомые уравнения
Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
Угол между двумя прямыми
определяется как угол между их
направляющими векторами,
,
и, следовательно,
.
( 24 )
Две прямые параллельны тогда и только тогда, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть
.
( 25 )
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, если их направляю-щие векторы перпендикулярны, именно:
.
( 26 )
Пример. Составить уравнения прямой,
проходящей через данную точку
параллельно прямой
В качестве направляющего вектора искомой
прямой мы можем взять направляющий
вектор данной прямой. Последний
коллинеарен векторному произведению
нормальных векторов
,
плоскостей, определяющих данную прямую
(рис. 12). Итак,
,
на основании чего получаем параметрические и канонические уравнения искомой прямой
.
Пример. Доказать, что прямые
Не
параллельны и лежат в одной плоскости
(рис. 13). Составить уравнение этой
плоскости. Найти точку пересечения
прямых.
Уравнения прямых дают нам точку
и направляющий вектор
прямой
,
точку
и направляющий вектор
прямой
.
Рис. 13 Векторы
не коллинеарны, и поэтому прямые не
параллельны.
Далее, вектор
и векторное произведение направляющих
векторов прямых
перпендикулярны (
),
а это означает, что прямые лежат в одной
плоскости
.
Ее нормальный вектор и уравнение
по-лучаем обычным путем,
Чтобы найти точку пересечения прямых,
запишем сначала параметрические
уравнения второй прямой
,
используя другой параметр, например,
,
Приравниваем далее правые части двух первых уравнений обеих прямых
и решаем полученную систему уравнений
относительно t и
Получаем
.
Подставляя
в уравнения первой прямой или
в уравнения второй, мы находим координаты
точки пересечения прямых, именно
.
Пример (для самостоятельного решения). Доказать, что прямые
параллельны, и составить уравнение плоскости, в которой они обе находятся.