Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности

Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями

( 15 )

Углом между плоскостями называется угол между их нормальными векторами,

,

откуда

. ( 16 )

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, если их нормальные векторы коллинеарны, именно:

( 17 )

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, если их нормальные векторы перпендикулярны, то есть

( 18 )

Пример. Составить уравнение плоскости, если она проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям

.

Нормальные векторы данных плоскостей . Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен векторам и, следовательно, коллинеарен их векторному произведению,

;

на основании уравнения (4) искомое уравнение суть

.

Пример. Найти значения параметров m, n, для которых плоскости

параллельны.

Нормальные векторы данных плоскостей , и на основании условия (17) параллельности двух плоскостей должны иметь

,

откуда следует, что

.

Задача о пересечении трех плоскостей

Предположим, что мы ищем точки пересечения трех плоскостей, то есть мы изучаем систему уравнений этих плоскостей

( 19 )

Матрица системы и расширенная матрица суть

Случай 1. .

Главный определитель системы отличен от нуля, система имеет единственное решение, и все плоскости пересекаются в единственной точке.

Случай 2. .

Система (19) несовместна. На основании того, что , матрица A имеет по крайней мере один ненулевой минор второго порядка. В этом случае какие-то из двух плоскостей пересекаются, а третья плоскость параллельна линии их пересечения. Если, например,

,

имеем , нормальные векторы не коллинеарны, и пересекаются первые две плоскости.

Случай 3. . Система (19) имеет бесконечное множество решений, все плоскости имеют общую линия пересечения.

Случай 4. .

Система (19) не имеет решений. Все миноры второго порядка матрицы A равны нулю, следовательно, нормальные векторы плоскостей попарно коллинеарны, плоскости параллельны, но по крайней мере две из них не совпадают.

Случай 5. . Все три плоскости совпадают.

Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору

Пусть пространственная прямая l проходит через точку и параллельна некоторому вектору , который называется направляю-щим вектором прямой (рис. 11).

Для любой точки прямой векторы и коллинеарны, и поэтому их соответствующие коор Рис. 11 динаты пропорциональны. Отсюда следует, что

. ( 20 )

Формула (20) содержит два независимых уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой l.

Обозначим t равные отношения в (20),

.

Получим , откуда

( 21 )

Уравнения (21) называются параметрическими уравнениями прямой. здесь t – вспомогательная переменная, которая называется параметром. Например, значение параметра t = 0 соответствует точке .

Пример. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, которая проходит через точку и перпендикулярна данной плоскости .

В качестве направляющего вектора прямой мы берем нормальный вектор плоскости,

,

и с помощью формул (21) и (20) получаем

.

Пример. Составьте самостоятельно уравнения высоты треугольной пирамиды с известными вершинами (см. пример, рассмотренный выше)

, .