Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности

Определение. Уравнение вида

( 1 )

называется уравнением поверхности S, если координаты любой точки поверхности (и только такой точки) удовлетворяют ему.

Пример. Уравнение сферы радиуса R с центром в точке (рис. 1)

. ( 2 )

Если центр сферы находится в начале координат, Рис. 1 ее уравнение принимает вид

. ( 3 )

Пример. Определить вид поверхности, заданной уравнением

.

Дополняя до полных квадратов, получим

,

,

то есть уравнение сферы радиуса с центром в точке .

Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору

Пусть плоскость (рис. 2) проходит через точку и перпендикулярна некоторому ненулевому вектору (так называемому нормальному вектору плоскости).

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Так как для произвольной точки плоскости векторы

перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю,

,

откуда следует уравнение плоскости

. ( 4 )

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум векторам .

Если мы предположим, что векторы имеют общее начало(рис. 3), то увидим, что нормальный вектор плоскости коллинеарен их векторному произведению,

,

и с помощью уравнения (4) получим

.

Замечание. Аналогичную задачу можно рассмотреть в плоскости xOy: составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному ненулевому вектору (номальному вектору) (рис. 4).

Аналогичные рассуждения приводят к следующему уравнению прямой:

. ( 5 )

Раскрывая скобки, мы получим уравнение вида

, ( 6 )

где то есть общее уравнение прямой

Если в уравнении (5) коэффициент , мы получаем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей данный угловой коэффициент k (или уравнение пучка прямых с центром в точке )

. ( 7 )

Пример. Составить уравнение высоты, проведенной из вершины C треугольника ABC с задан-ными вершинами (рис. 5).

Нормальный вектор высоты , и на основании (5) имеем Рис. 5 .

Общее уравнение плоскости

Уравнение (4) после раскрытия скобок может быть записано в виде

где и . Обратно, уравнение

() ( 8 )

является уравнением плоскости с нормальным вектором . Оно называется общим уравнением плоскости.

Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости

1. Если , то плоскость, уравнение которой принимает вид

,

проходит через начало координат .

2. Если , то плоскость с соответствующим уравнением

параллельна оси Ox.

3. Если , плоскость, уравнение которой

,

параллельна осям Ox, Oy и, следовательно, параллельна плоскости xOy. Если, кроме того, , получаем уравнение плоскости xOy, а именно:

. ( 9 )

Аналогично рассматриваются другие случаи общего уравнения плоскости, в частности (если или ), мы приходим к уравнениям плоскостей xOz, yOz

( 10 )