Уравнения некоторых линий в полярных координатах

1. Луч, исходящий из полюса под углом к полярной оси (рис. 13).

Для любой точки луча мы имеем

. ( 19 )

2. Окружность радиуса R с центром в полюсе (рис. 14).

Для любой точки окружности имеем

. ( 20 )

3. Окружность (рис. 15).

	0
	1			0
	2a	a	a	0
Point	A			O

Приписывая значения 0, , , полярному углу , мы находим соответствующие значения полярного радиуса и соответствующие точки кривой. Затем мы соединяем их плавной линией.

Рис. 13

Рис . 14

Рис . 15

Запишем уравнение линии в декартовых координатах. С этой целью умножим обе его части на ,

,

и примем во внимание формулы (17), (18),

.

Получили уравнение окружности радиуса a с центром.

4. Кардиоида . С помощью таблицы мы изображаем сначала несколько точек линии, а затем и саму линию (см. рис. 16).

	0
	1	½		0	-1/2	-1
+	2	3/2		1	½	0
	2a	3/2 a		a	1/2 a	0
Точка	A					O
Рис. 16			Рис. 17					Рис. 18

5. Лемниската Бернулли⁹

.

Линия симметрична относительно осей Ox, Oy, поэтому мы изучим ее в первом квадранте. Очевидно, что . Переходя к полярным координатам, имеем

.

Давая значения 0, , , полярному углу , составим следующую таблицу и построим лемнискату (рис. 17).

	0
2	0
	1	0.9	0.7	0
	1	0.94	0.8	0
	2a	1.9 a	1.6 a	0
Точка	A	B	C	O

6. Постройте самостоятельно спираль Архимеда¹⁰ (рис. 18).

7. Конические сечения в полярных координатах. Если мы поместим полюс в левом фокусе эллипса, правом фокусе гиперболы, в фокусе параболы соответственно и направим полярную ось от левого до правого фокусов эллипса и гиперболы и от вершины до фокуса параболы (см. рис. 19, 20, 21), то все три кривые будут иметь то же самое полярное уравнение.

■Пусть, во-первых, - произвольная точка эллипса. Тогда

, ,

и на основании теоремы косинусов

Введем следующую величину (так называемый параметр эллипса)

.

Полярное уравнение эллипса принимает вид

,

где эксцентриситет удовлетворяет неравенству .

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Для гиперболы мы тем же путем выводим такое же самое уравнение, но в предположении, что эксцентриситет (сделайте это самостоятельно).

Наконец, для параболы мы имеем (fig. 21)

то есть то же самое уравнение с эксцентриситетом .■