Парабола
Определение.
Параболой называется плоская кри-вая,
каждая точка
которой равноудалена от дан-ной точки
F (фокуса) и данной
прямой (директрисы).
Выберем координатные оси таким образом,
чтобы
Рис. 8 фокус
располагался на оси
на расстоянии
от нача-ла координат,
,
а директриса задавалась уравнением
,
(см. рис. 8). Здесь p (так называемый параметр параболы) – положительное чи-сло, равное расстоянию от фокуса до директрисы.
Для
произвольной точки
параболы равенство
(рис. 8) приводит к уравнению (каноническому
уравнению параболы)
.
( 15 )
Парабола симметрична относительно оси
Ox и пересекае-тся с
ней в начале координат. Точка
является единствен-ной вершиной параболы
(см. рис. 9).
Рис. 9 Мы могли
бы выбрать фокус и директрису параболы
ина-че, а именно следующим образом:
,
.
В этом случае каноническое уравнение параболы имело бы несколько иной вид,
,
( 16 )
а сама она располагалась в левой
полуплоскости, симметрично параболе
(15) относительно оси
.
Изобразите ее самостоятельно.
Пример. Найти параметр, фокус и директрису
параболы
Ответ.
.
Пример. Составить канонические уравнения парабол, фокусы которых располагаются на оси Ox, а (один и тот же) параметр равен расстоянию от фо-куса гиперболы
до ее асимптоты.
На основании рассмотренного выше
примера
,
откуда
Изобразите самостоятельно эти параболы.
Полярные координаты
Положение точки M на плоскости полностью определяется ее декартовыми координатами (абсциссой и ординатой). Но оно может полностью определяться так называемыми полярными координатами точки со следующими элементами: полюс, полярная ось, полярный радиус и полярный угол.
Пусть на плоскости заданы точка O
и выходящий из нее луч
,
которые соответственно называются
полюсом и полярной осью (рис. 10). Расстояние
точки
M от полюса O
называется полярным радиусом точки, а
угол
между полярным радиусом и полярной осью
– ее полярным углом. Теперь мы можем
изобразить эту точку с ее полярными
координами, именно
(см. рис. 10).
|
|
|
|
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
Чтобы построить точку
по ее полярным координатам
,
нужно провести из полюса луч под углом
к полярной оси и отложить на нем полярный
радиус
точки.
Пример. На рис. 11 построены точки
по их полярным координатам.
Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным и наоборот
Совместим полюс O с
началом декартовой системы координат,
а полярную ось
- с положительной полуосью Ox
(рис. 12). Если x, y
и
- декартовы и полярные координаты точки
M соответственно
,
то
( 17 )
(формулы перехода от декартовых координат к полярным) и
( 18 )
(формулы перехода от полярных координат к декартовым).