2. Следствия из преобразования лоренца

2.2.1. Понятие одновременности

Пусть в K-системе отсчета происходят два каких-то события: А₁ (х₁, у₁, t₁) и А₂(х₂, у₂, t₂). Найдем интервал времени между этими событиями в K′-системе, движущейся со скоростью V вдоль оси Х. Согласно формуле (5) преобразования времени, искомый интервал времени

Отсюда следует, что события, одновременные в K-системе (t₂ =t₁), не одновременные в K′-системе . Исключением является случай, когда оба события происходят в K-системе одновременно в точках в одинаковыми значениями координаты х (координата у может быть различной).

Итак, одновременность - понятие относительное: то, что одновременно в одной системе отсчета, в общем случае не одновременно в другой системе отсчета. Говоря об одновременности событий, необходимо указывать систему отсчета, относительно которой эта одновременность имеет место. В противном случае понятие одновременности теряет смысл.

Из формулы (7) видно, что для одновременных в K-системе событий знак разности определяется знаком выражения –. Следовательно, в разных системах отсчета (при разных значениях скорости V) разность будет различной не только по модулю, но и по знаку. Последнее означает, что порядок событий А₁ и А₂ может быть любым (как прямым, так и обратным).

2.2.2. Лоренцево сокращение

Расположим неподвижный в K′-системе стержень вдоль оси X′, т.е. вдоль направления движения этой системы отсчета относительно K-системы. Пусть длина стержня в K′-системе (собственная длина).

В К-системе, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние l между координатами х₂ и х₁ его концов, взятыми в один и тот же момент (t₂=t₁). Вос­пользовавшись преобразованиями Лоренца (5) для коорди­нат х' и х, запишем

Откуда

Таким образом, длина l движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины 1₀, и в разных инерциальных системах отсчета она будет иметь свое значение. Этот результат полностью согласуется с полученным ранее (2).

Из определения длины следует, что относительность длины данного стержня является следствием относительности поня­тия одновременности. Это же относится и к форме любого тела — его размеры в направлении движения также различны в раз­ных инерциальных системах отсчета.

2.2.3. Длительность

Пусть в точке с координатой х' К'-системы отсчета протека­ет некоторый процесс, длительность которого в этой системе (собственное время процесса). Найдем длитель­ность данного процесса в К-системе, относительно которой К'-система движется.

Воспользуемся с этой целью преобразованиями Лоренца для времени. Так как процесс происходит в точке с фиксированной координатой х' К-системы, то наиболее удобно использовать формулы (6):

Или

Отсюда видно, что длительность одного и того же процесса различна в разных инерциальных системах отсчета. В К-системе его длительность больше (), а следовательно, в этой системе отсчета он протекает медленнее, чем в К'-системе. Это вполне согласуется с результатом, относящимся к ходу одних и тех же часов в разных инерциальных системах отсчета, — фор­мулой (1).

2.2.4. Интервал

Относительный характер пространственных и временных промежутков отнюдь не означает, что теория относительности вообще отрицает существование каких бы то ни было абсолют­ных величин. В действительности дело обстоит как раз наобо­рот. Задача, которую ставит перед собой теория относительно­сти, заключается в нахождении таких величин (и законов), ко­торые не зависели бы от выбора инерциальной системы отсчета.

Первой из этих величин является универсальная скорость распространения взаимодействий, равная скорости света в ва­кууме. Другой, также весьма важной инвариантной величиной является интервал s₁₂ между событиями 1 и 2, квадрат которо­го определяется как

, (10)

Где t₁₂ – промежуток времени между событиями, l₁₂ – расстояние между двумя точками, в которых происходят данные события .

В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в К'- и К-системах отсчета. Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (6) и учитывая, что у'₁₂= у₁₂ и z'₁₂ = z₁₂, запишем:

Таким образом, действительно, интервал является величи­ной инвариантной. Иначе говоря, утверждение «два события разделены таким-то интервалом s» имеет абсолютный харак­тер — оно справедливо во всех инерциальных системах отсче­та. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности и служит весьма эффективным инстру­ментом при анализе и решении многих вопросов.

В зависимости от того, какая составляю­щая в интервале преобладает, пространственная или вре­менная, соответствующие интервалы называют: пространственноподобными (l₁₂ >ct₁₂), времениподобными (ct₁₂ >l₁₂). Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий — светоподобный (ct₁₂ =l₁₂).

Если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то всегда можно найти такую К'-систему отсчета, в ко­торой оба события происходят одновременно (t'₁₂ =0):

-=-

Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти такую if '-систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке (l'₁₂ =0):

В случае пространственноподобных интервалов l₁₂ >ct₁₂, т. е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влия­ния друг на друга, даже если бы связь между событиями осу­ществлялась с предельной скоростью с. Иначе обстоит дело в случае времениподобных или светоподобных интервалов, для которых l₁₂ <ct₁₂. Следовательно, события, разделенные време­ниподобными или светоподобными интервалами, могут быть причинно-связанными друг с другом.