2.5. Производная неявной функции и параметрически заданной функции.

Для нахождения производной функции y, заданной неявно, т.е. уравнением , нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения найти .

 Пример 2.10. Найти и найти её значение в точке , если .

Решение.

Дифференцируем уравнение: . 

В параметрически заданной функции зависимость y от x выражена через параметр t: , . Производная такой функции находится по правилу:

.

Производная второго порядка может быть найдена по формуле: .

Но можно найти вторую производную и так: . Подобным образом можно получить формулы для производных по x порядка через производные от x и y по t : и т.д.

 Пример 2.11. Найти для

Решение.

Найдем , затем .

=. 

-Пуаро,- сказал я. – Я только что думал…

- Очаровательное занятие, мой друг. Не

гнушайтесь им и впредь.

А.Кристи. Загадка Эндхауза.

☼ Упражнения 2.8. Найти производные первого и второго порядков для функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) . ☼

3. Исследование функций и построение графиков.

0. Основные положения исследования функции.

С помощью производной 1-го порядка можно находить промежутки монотонности функции и точки ее экстремумов. Если , то функция возрастает на . Если , то функция убывает на (рис.1).

Рис.1.

Если функция непрерывна в точке и производная при переходе через точку слева направо меняет знак с «+» на с «-» (с «-» на с «+»), то является точкой максимума (минимума), а значение - максимумом (минимумом) функции (рис.2). В обоих случаях точка называется точкой экстремума, а значение - экстремумом функции (рис.2)

Рис.2.

С помощью производной второго порядка находятся промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции. Если (<0) , то возрастает (убывает) на , угловой коэффициент к графику функции увеличивается (уменьшается)и график является вогнутым (выпуклым) на (рис.3). Точка, в которой вторая производная меняет знак, называется точкой перегиба функции .

Рис.3.

Для построения графика функции полезно найти асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке a равен бесконечности: или . Асимптота называется горизонтальной, если . Прямая является наклонной асимптотой непрерывной кривой , , .

0. Схема построения графика функции.

Чтобы не попасть в капкан,

чтобы в темноте не заблудиться,

чтобы никогда в пути не сбиться,

чтобы в нужном месте приземлиться,

приводниться,-

начерти на карте план.

Если даже есть талант-

чтобы не нарушить, не расстроить

чтобы не разрушить, а построить,

чтобы увеличиться, удвоиться, утроиться

нужен очень точный план.

В. Высоцкий. Песня Алисы о планах.

1. Найти область D значений x, где функция определена.

2. Найти точки , , , где или производная не существует,

в частности равна . Вычислить значения в этих точках: , , , если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума или минимума. Если не определена в какой-либо из точек , то важно знать пределы , , а также , , если они имеют смысл.

3. Область D разделяется точками на интервалы , на каждом из которых . Среди них могут быть бесконечные интервалы вида или . Будем считать, что производная непрерывна на каждом таком интервале . Тогда на сохраняет знак. Выясним, какой это знак. Тогда будет известно, возрастает или убывает функция на .

4. Важно отметить на каждом интервале точки , , , где , и определить соответствующие значения функции , , . В этих точках могут быть точки перегиба кривой . Эти точки делят на интервалы, на которых вторая производная , если она существует, сохраняет знак. Выяснение знака даёт возможность узнать направление выпуклости кривой.

5. По возможности решить уравнение и выяснить интервалы, на которых сохраняет знак (,).

6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, то есть найти пределы , .

7. На основе сведений построить график функции .

 Пример 3.1. Исследовать функцию и построить её график.

1. .

2. Функция общего вида.

3. , , поэтому вертикальных асимптот нет.

4. Так как функция не определена при и , понятие горизонтальной или наклонной асимптоты для неё не имеет смысла.

Экстремумы и интервалы монотонности: , при , .

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости:

,

, поэтому и функция выпукла вверх на отрезке . Точек перегиба нет.

График функции представлен на рис. 4. 

Рис. 4.	Рис. 5.

 Пример 3.2. Исследовать функцию и построить её график.

1. .

2. Функция общего вида.

3. Вертикальных асимптот нет.

4. , поэтому горизонтальных асимптот нет.

Есть ли наклонные асимптоты? ,

– наклонная асимптота.

Экстремумы и интервалы монотонности: , при , не существует при , при .

– точка локального максимума, ; – точка локального минимума, .

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости:

,

при , не существует при . – точка перегиба.

7. при и .

График функции представлен на рис. 5. 

- Задай еще вопрос. Какое же наслаждение

наблюдать за работой собственной головы,

решающей мировые проблемы!

Р. Бах. Иллюзии

☼ Упражнения 3.1. Построить графики функций:

1) ; 2); 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10)

11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ; 25) ;

26) ; 27) . ☼

Я просил его присутствовать, ибо сегодня он

услышит ответы на свои вопросы.

Дж.Р.Р. Толкин. «Властелин Колец».

Ответы, указания.