II. Дифференцирование.
-
Понятие производной.
По определению
производной функции
в
точке
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии
.
Производная обозначается
или
.
Тогда
.
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Пример 2.1.
Найти производную функции
Решение.
.
☼ Упражнения
2.1. Используя
определение производной, найти производные
функций в точке
:
1)
;
2)
;
3)
.
☼
-
Вычисление производных.
Правила дифференцирования.
Если функции
и
имеют производные в точке
,
то в этой точке имеют производные их
сумма, разность, произведение и частное,
причём:
1)
;
2)
;
3)
при
;
4) если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
и
.
Таблица производных.
|
№ |
|
|
№ |
|
|
|
1. |
|
0 |
10. |
|
|
|
2. |
|
|
11. |
|
|
|
3. |
|
|
12. |
|
|
|
4. |
|
|
13. |
|
|
|
5. |
|
|
14. |
|
|
|
6. |
|
|
15. |
|
|
|
7. |
|
|
16. |
|
|
|
8. |
|
|
17. |
|
|
|
9. |
|
|
18. |
|
|
Пример 2.2.
Найти производные функций: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Решение.
1)
=
;
2)
;
3)
;
4)
=
;
5) Чтобы найти
производную функции
,
прологарифмируем уравнение:
и тогда
;
6) Для того, чтобы
найти производную степенно-показательной
функции, прологарифмируем уравнение:
;
7) Чтобы найти
производную функции
также прологарифмируем уравнение,
получим сумму логарифмов и дифференцирование
станет проще:
,
,
тогда
;
8) Используем
логарифмическое дифференцирование для
нахождения производной функции
:
,
,
.
Я занимался до сих пор решением ряда
задач, ибо при изучении наук примеры
полезнее правил.
И. Ньютон. Всеобщая арифметика
☼ Упражнения 2.2. Найти производные функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
,
найти
;
31)
;
32)
;
33)
;
34)
;
35)
;
36)
;
37)
;
38)
;
39)
;
40)
;
41)
;
42)
;
43)
;
44)
;
45)
46)
47)
48)
49)
50)
;
51)
;
52)
53)
;
54)
;
55)
;
56)
57)
;
58)
59)
60)
;
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
;
91)
;
92)
;
93)
. ☼