1.3. Число е.
Последовательность
монотонная и ограниченная. Следовательно,
она имеет конечный предел. Этот предел
определяет эйлерово число
.
Число е – иррациональное, е
.
Пример 1.7.
Найти
пределы: 1)
;
2)
;
3)
.
Решение.
1)
.
2)
.
3)
.
J
- Надо же как все просто.
- Как научиться ходить. Потом ты начинаешь
удивляться, что в этом было такого сложного.
Р. Бах. Иллюзии
☼ Упражнения 1.2. Вычислить пределы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
;
6)
; 7)
;
8)
.
☼
1.4. Предел функции.
Пусть функция
f(
)
определена на некотором промежутке Х
и пусть точка
или
.
Определение 1.2.
Число А
называется пределом функции
(
)
в точке
,
если
такое, что для всех
,
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Записывается так:
Пример 1.8.
Используя
определение, докажем, что функция
в точке
имеет предел, равный единице, т.е.
Возьмем любое
.
Найдем такое
,
при котором из неравенства
следовало бы неравенство
.
Преобразуя неравенство, получаем
.
Отсюда видно, что если взять
,
то для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется требуемое неравенство
.
Это и означает, что
В частности, если
,
то
.
J
☼ Упражнения 1.3. Используя определение, доказать, что:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
☼
1.5. Правила вычисления пределов функции.
Пусть функции
и
имеют в точке
пределы В и A.
Тогда
1.
=
;
2.
;
3.
(при
).
4.
;
5.
=
С
B;
Правила верны
также и в случае, когда
является одним из символов
или
.
Пример 1.9.
Найти
.
Решение.
По правилам вычисления предела функции находим
=
.
J
☼ Упражнения 1.4. Найти пределы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
☼
-
Раскрытие неопределенностей вида и .
Пример 1.10.
Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность
вида
.
Разложим числитель и знаменатель на
множители и сократим на общий множитель,
который обращает в нуль числитель и
знаменатель дроби:
=
.
J
Пример 1.11.
Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность
вида
.
Так же, как и в случае последовательностей
заменим бесконечно большие функции на
эквивалентные и найдем предел дроби:
.
J
Пример 1.12.
Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность
вида
.
Заменим бесконечно большие функции на
эквивалентные и найдем предел дроби:
.
J
Пример 1.13.
Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность
вида
.
Заменим бесконечно большие функции на
эквивалентные и найдем предел дроби:
.
J
Сопоставляя
результаты решений примеров 1.11 - 1.13
установим правило нахождения пределов
с неопределенностью
.
Если
-
многочлены степеней m
и k
соответственно, то
где
- отношение коэффициентов при старших
степенях многочленов.
Пример 1.14.
Вычислить
.
Решение.
Учитывая условие
,
получаем
.
J
☼ Упражнения 1.5. Найти пределы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
☼