2.4.Применение выборочного метода наблюдения в статистике связи.

Статистическое наблюдение – это научно-обоснованное собирание данных об изучаемых явлениях и процессах.

Выборочное наблюдение является одним из видов несплошного наблюдения. При выборочном наблюдении обследованию подвергаются не все единицы изучаемой совокупности, а только часть их, отобранная в случайном порядке. Полученные обобщающие показатели распространяются на всю изучаемую совокупность. При проведении выборочного наблюдения возникают ошибки выборки, потому что обследованию подвергаются только часть единиц совокупности, которая по структуре может отличаться от всей совокупности. При организации выборочного наблюдения стремятся к тому, чтобы ошибка выборки была минимальной. Размер ошибки выборки зависит от объема выборки, от вариации значений признаков, а также от способа отбора единиц, образующих выборочную совокупность.

Задачи, которые возникают при организации выборочного обследования можно разделить на 2 вида:

1. определение среднего размера признака;

2. определение доли единиц, обладающих данным признаком.

Выборка бывает бесповторной и повторной. Если отобранная единица или целая серия не возвращается в совокупность, то она называется бесповторной. Если одна и та же единица попадает в выборку несколько раз, такая выборка называется повторной.

По способу отбора единиц для обследования различают следующие виды выборки: собственно-случайная, типическая, серийная, механическая.

Собственно-случайный способ отбора.

1. повторная выборка:

• при определении среднего размера изучаемого признака:

D = t * М,

где D - предельная ошибка выборки;

t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать,

что предельная ошибка не превысит t –кратную среднюю ошибку;

М – средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

М = Ös² / n,

где s² – дисперсия в выборке;

n – численность выборки.

• при определении доли данного признака предельная ошибка определяется по формуле:

D = t Ö W(1 – W) / n,

2. Бесповторная выборка:

• при определении среднего размера изучаемого признака:

D = t Ös²/n * (1 – (n/N)).

• при определении доли данного признака:

D = t Ö W(1 – W) / n * (1 – (n/N)).

где N – численность генеральной совокупности;

W – доля данного признака в выборке;

W (1-W) – дисперсия доли в выборочной совокупности.

Средняя доля в генеральной совокупности находиться в следующих пределах:

¾ ~

х = х ± D Р = W ± D,

¾

где х – средняя в генеральной совокупности;

~

х – средняя в выборочной совокупности;

Р – доля данного признака в генеральной совокупности.

Для оценки величины ошибки часто пользуются показателем относительной ошибки, которая определяется по формуле:

~

b = D / х * 100 %.

При организации выборочного наблюдения большое значение придается необходимой численности выборки, при которой ошибка выборки не превышала бы заранее установленной величины.

Необходимый объем выборки при собственно-случайном способе отбора определяется по следующим формулам:

• для повторной выборки n = t²s² / D²;

• для бесповторной выборки n = t²s²N / D²N+t²s².

Пример: На основе выборочного наблюдения были получены данные о числе слов в телеграмме, которые затем были представлены в виде ряда распределения телеграмм по длине.

Группы по числу слов в телеграмме	Число теле- грамм m	Середина интервала х	х * m	~ х - х	~ (х – х)2	~ (х – х)2m
до 10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60	60 140 100 80 60 20	5 15 25 35 45 55	300 2100 2500 2800 2700 1100	-20 -10 0 10 20 30	400 100 0 100 400 900	24000 14000 0 8000 24000 18000
Итого	460		11500			88000

По данным ряда распределения определить:

• среднее число слов в телеграмме;

• ошибку выборочного среднего числа слов в телеграмме при вероятности Р = 0,99;

• необходимый объем выборки, при котором ошибка выборки не будет превышать 5 % при Р_t = 0,99.

Решение: Среднее число слов в телеграмме определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

~ ~

х = åхm / åm; х = 11500 / 460 = 25 слов.

Далее определяется дисперсия:

~

s² = å(х-х)²m / åm; s² = 88000 / 460 = 191,3.

Абсолютная ошибка выборки равна:

D = t Ös²/n; D = 2,58 Ö191,3/460 = 2 слова.

Следовательно, среднее число слов в телеграмме в генеральной совокупности находится в пределах

х = х ± D; х = 25 ± 2, т.е. от 23 слов до 27 слов.

Вероятность такого утверждения равна 0,99.

Относительная ошибка выборки определяется по формуле:

~

b = D / х * 100 % = 2 / 25 * 100 = 8 %.

Объем выборки при заданной ошибке выборки определяется по формуле:

n = t²s² / D².

Чтобы воспользоваться этой формулой определяется абсолютная ошибка выборки D, соответствующей b = 5 %. Из формулы b = D / х * 100 %, имеем

~

D = b * х / 100; D = 5 * 25 / 100 = 1,25 слов.

Необходимый объем выборки составляет:

n = 2,58² * 191,3 / 1,25 = 1019 телеграмм.

Чтобы ошибка выборки не превышала 5 % надо включить в выборку не менее 1019 телеграмм.

Типический способ отбора.

При данном способе отбора изучаемая генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы и из каждой такой группы в случайном порядке отбирается количество единиц пропорционально удельному весу группы по всей совокупности.

Для определения ошибок типической выборки используются формулы:

• при повторной выборке:

D = t Ös²/n;

• при бесповторной выборке:

D = t Ös²/n (1 – n/N).

Средняя из групповых дисперсий определяется по формуле:

s² = ås²n / ån,

где s² – дисперсия в каждой типической группе;

n – количество единиц в каждой типической группе.

Если определяется доля данного признака, то ошибка выборки определяется по следующей формуле:

• при повторной выборке:

D = t ÖW(1-W) / n.

• при бесповторной выборке:

D = t ÖW(1-W) / n (1 – n/N).

Затраты времени в сек.	40	42	44	45	46	48	50	52	55	Ит ого
Коли чес тво замеров	2	2	2	1	2	3	4	2	2	20

Пример: Для изучения влияния стажа работы по данной профессии на квалификацию сортировщиков письменной корреспонденции проведена типическая выборка, которая дала следующие результаты.

Группировка рабочих по стажу	Общее число рабочих	Объем выборки	В т.ч. по классам
			1	2	3
до 10 лет 10 лет и более	100 150	20 30	5 20	8 10	7 -
Итого:	250	50	25	18	7

Определить: Средний класс квалификации сортировщиков и ошибку среднего класса квалификации при Р_t = 0,99.

Решение: Средний класс квалификации сортировщиков по каждой группе рабочих определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

~

х = åхm / åm;

~

х₁ = 5 * 1 + 8 * 2 + 7 * 3 / 20 = 2,1;

~

х₂ = 20 * 1 + 10* 2 + / 30 = 1,3;

Серийный способ отбора

• повторная выборка:

D = t Ös_s²/s;

D = t ÖW_s(1-W_s) / s.

• бесповторная выборка:

D = t Ös_s²/s (1 – s/S).

D = t ÖW_s(1-W_s) / s (1 – s/S),

где S – общее число серий в генеральной совокупности;

s – число выборочных серий;

s_s² – дисперсия между сериями, определяемая по формуле:

~ ~

s_s² = å(х_i – х_s)²

s

где х_i – среднее значение признака в каждой серии;

х_s – межсерийная средняя;

W_s – доля данного признака в среднем по всем обследованным сериям.

W_s = åW_i / s.

Пример: 300 работников одного из цехов предприятия связи поделены на 15 бригад по 20 человека в каждой. При определении среднего стажа работы произведена 20 % бесповторная серийная выборка. В выборку попали три бригады.

Бригады	1	2	3
Стаж работы	8	12	10

По этим данным определить: средний стаж работы всех работников цеха и предельную ошибку выборки при определении среднего стажа работы (Р_t = 0,9973).

Решение: Средний стаж работы работников цеха будет равен:

~ ~

х_s = åх_i / s;

где х_i – среднее значение признака в серии;

s – число серий.

~

х_s = 8 + 12 + 10 / 3 = 10 лет.

Для определения предельной ошибки выборки предварительно определяется дисперсия между сериями:

~ ~

s_s² = å(х_i – х_s)² ;

s

s_s² = (8-10)² + (12-10)² + (10-10)² = 2,7.

3

Предельная ошибка выборки при Р_t = 0,99 будет равна

D = t Ös_s²/s (1 – s/S);

D = 3 Ö2,7/3 (1 – 3/15) = 2,5 лет

¾ ~

х = х ± D = 10 ± 2,5,

т.е. средний стаж работы в генеральной совокупности колеблется в пределах от 7,5 лет до 12.,5 лет.

Малые выборки.

Малыми выборками называются выборки небольшого объема, численность единиц которых составляет не более20.

Абсолютная ошибка в малых выборках определяется по формуле:

D = t Ös_м² / n-1,

где t – коэффициент доверия, который находится по специальным таблицам в зависимости от заданной вероятности и от объема выборки;

s_м² – дисперсия малой выборки.

~

s_м² = å(х – х)² / n.

Пример: При установлении нормы времени на прием одной телеграммы в кассе проведено выборочное наблюдение и получены следующие затраты времени в секундах: 48, 40, 50, 45, 48, 52, 40, 42, 48, 50, 52, 55, 46, 42, 44, 50, 46, 44, 55, 50.

Определить среднее время на прием одной телеграммы в кассе и ошибку выборки при определении среднего времени (при Р_t = 0,992).

Решение: Для определения среднего времени необходимо составить ряд распределения.

Среднее время на прием одной телеграммы:

х = 40 * 2 + 42 * 2 + 44 * 2 + 45 * 1+ 46 * 2 + 48 * 3 + 50 * 4 + 52 * 2 + 55 * 2 = 47 сек.

20

Дисперсия определяется следующим образом:

s_м²=(40-47)²*2+(42-47)²*2+(44-47)²*2+(45-47)²*1+(46-47)²*2+(48-47)²*3+(50-47)²*4+(52-47)²*2+(55-47)²*2=15,45с

20

Ошибка выборки будет равна:

D = 3 Ö15,45 / 19 = 3,0 сек.

Х = 47 ± 3, т.е. среднее время на прием одной телеграммы в генеральной совокупности колеблется от 44 до 50 сек.

Моментно-выборочное наблюдение.

Специальной формой организации выборочного наблюдения является метод моментных наблюдений, получивший распространение при изучении использования внутрисменного времени рабочими и при изучении использования производственного оборудования.

Ошибка моментной выборки определяется по формуле:

D = t Ö W (1 – W) / n,

где W – средняя доля отработанного времени.

Определяется следующим образом:

W = åW / n.

Пример: С целью определения степени использования рабочего времени оператора почтовой связи проведено моментно-выборочное наблюдение. За семичасовую смену было проведено 180 наблюдений за работой оператора. При этом в 140 случаях он работал, а в 40 случаях фиксировался простой.

Определить: долю элемента «работа», долю элемента «простой» и ошибку данной выборки при Р_t = 0,95.

Решение: Рабочее время оператора составляет:

140 / 180 х 100% = 77,7% - доля элемента «работа»;

Простои оператора составили:

40 / 180 х 100% = 22,3% - доля элемента «простой».

Ошибка моментной выборки составляет:

D = t ÖW(1-W) / n = 1,96 Ö77,7 * 22,3 / 180 = 6,1%.

Доля в генеральной совокупности колеблется в следующих пределах:

Р = W ± D;

Р = 77,7% ± 6,1%.