Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

Таблица 3.

i	Цена pi		Ni	Спрос D(pi)	ln(Pi)	Ni*ln(Pi)	ln D(Pi)
1	60		2	50	4,0943	8,1886	3,912
2	80		5	48	4,382	21,91	3,8712
3	100		7	42	4,6052	32,2364	3,7377
4	120		8	39	4,7875	38,3	3,6636
5	140		8	32	4,9416	39,5328	3,4657
6	160		6	25	5,0752	30,4512	3,2189
7	180		5	15	5,193	25,965	2,7081
8	200		5	8	5,2983	26,4915	2,0794
9	220		3	5	5,3936	16,1808	1,6094
10	240		1	1	5,4806	5,4806	0
				∑	49,2513	244,7369	28,266
				∑/n	0,985	4,8947	0,5653
Ni * ln(D(Pi))		Ni* (ln(Pi))^2		Ni * ln(Pi) * ln(D(Pi))	D**(Pi)	Ni*(D(Pi)-D**(Pi))	Ni*((D(Pi)-D**(Pi))^2)
7,824		33,5266		32,0338	114,207	-128,414	8245,0777
19,356		96,0096		84,818	64,9799	-84,8995	1441,585
26,1639		148,4551		120,49	41,9575	0,2975	0,0126
29,3088		183,3613		140,3159	29,349	77,208	745,1344
27,7256		195,3553		137,0088	21,695	82,44	849,5442
19,3134		154,5459		98,0194	16,6986	49,8084	413,4795
13,5405		134,8362		70,3158	13,2558	8,721	15,2112
10,397		140,3599		55,0864	10,7823	-13,9115	38,706
4,8282		87,2728		26,0414	8,9448	-11,8344	46,6843
0		30,037		0	7,5421	-6,5421	42,7991
158,4574		1203,7597		764,1295		-27,1266	11838,234
3,1691		24,0752		15,2826		-0,5425	236,7647
							15,3872

Расчет теоретической функции спроса:

y^* = α*(x - x_ср.) + b*.

Необходимо найти оценки параметров α* и b*:

a*=	-1,960269
b*=	3,1691
d*=	12,764029

lnD(P)=k*lnP + d

lnD(P)=-1,960269*lnP + 12,764029

D**(P)=e^d * Pi^k

D**(P)=e^12,764029 * Pi^(-1,960269)

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену p_опт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачу:

(p – p_0.)D^*(p)

в случае степенной зависимости:

(p – p_0.)с^*p^-α*→ _.

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p_0.)p^-α* = f(p)→ _.

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

_.

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования произведения функций:

^-α* + (p – p₀)( -α^*) p^{-α* -1} =0.

Вынесем общий множитель за скобки:

p^-α*-1[p + (p – p₀))(-α^*)] =0.

Сократим на ненулевой множитель (p^-α*-1):

p + (p – p₀))(-α^*) = 0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p – α^*p + p_0.α^* = 0.

Сгруппируем члены с p:

(1 – α^*)p = - p_0.α^*.

Получим оптимальное значение розничной цены:

p_опт. = _.

p0	pопт.1	pопт.2	pопт.3
40	120	134,32	81,65
60	140	144,32	122,48
80	140	154,32	163,31
100	160	164,32	204,14
120	180	174,32	244,96

Метод линейной аппроксимации дает более реальное представление о готовности платить потребителей за литр бензина и имеет отклонене SS=130,73, что намного меньше, чем в методе степенной аппроксимации SS=11838,23

Графическое изображение зависимостей:

Рис.1

Заключение.

В данной работе собрана информация о максимально возможной цене (в руб.), которую потребители готовы платить за плитку шоколада (200гр). Было опрошено 50 человек. Построена выборочная функция спроса. Были найдены розничные цены, максимизирующие прибыль, для пяти различных значений оптовой цены.

Методом наименьших квадратов была восстановлена функция спроса с помощью линейной и степенной аппроксимации. На основе восстановленной зависимости найдены и сопоставлены розничные цены, максимизирующие прибыль, для пяти различных значений оптовой цены.

Методом, наиболее реально отображающим тенденцию спроса на шоколад, признан метод линейной аппроксимации. Оптимальная розничная цена так же рассчитывается по методу линейного анализа.

Библиография

1. Орлова Л.А. Методическая разработка «Функция спроса и метод наименьших квадратов», электронная версия, М.: Лаборатория экономико-математических методов в контроллинге, 2007 (электронный вариант). – 21 с.

2. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник. - М.: Экзамен, 2006. - 672 с.

3. Орлов А.И. «Эконометрика» http://www.orlovs.pp.ru