Уравнение прямой в полярных координатах
Уравнение
прямой в полярных
координатах ρ и 
:
ρ(Acos φ + Bsin φ) + C = 0
или
Тангенциальное уравнение прямой
Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:
ξx + ηy = 1.
Числа ξ и η называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.
Уравнения прямой в пространстве
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где 
— радиус-вектор некоторой
фиксированной точки M0,
лежащей на прямой, 
—
ненулевой вектор, коллинеарный этой
прямой, 
— радиус-вектор произвольной
точки прямой.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где 
— координаты некоторой
фиксированной точки M0,
лежащей на прямой; 
— координаты
вектора, коллинеарного этой
прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
где 
— координаты некоторой
фиксированной точки M0,
лежащей на прямой; 
— координаты
вектора, коллинеарного этой
прямой.
Общее векторное уравнение прямой в пространстве:
Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
и 
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
Две прямые, заданные уравнениями
или
пересекаются в точке
Угол γ12 между пересекающимися прямыми определяется формулой
При этом под γ12 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1, B1, C1, k1 и b1) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.
Эти
прямые параллельны,
если A1B2 − A2B1 =
0 или k1 = k2,
и перпендикулярны,
если A1A2 + B1B2 =
0 или 
.
Любую прямую, параллельную A1x + B1y + C1 = 0, можно выразить уравнением A1x + B1y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно
Если знак перед радикалом противоположен C1, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.
Для того, чтобы три прямые
пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Если 
и 
,
то прямые 
и 
перпендикулярны.
3 Плоскость
Некоторые характеристические свойства плоскости
-
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
-
Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
-
Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.
-
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
-
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.
Уравнения плоскости
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
-
Общее уравнение (полное) плоскости
где 
и 
—
постоянные, причём 
и 
одновременно
не равны нулю; в векторной форме:
где 
—
радиус-вектор точки 
,
вектор 
перпендикулярен
к плоскости (нормальный
вектор). Направляющие косинусы вектора 
:
Если
один из коэффициентов в уравнении П.
равен нулю, уравнение называется неполным.
При 
П.
проходит через начало
координат,
при 
(или 
, 
)
П. параллельна оси 
(соответственно 
или 
).
При 
(
,
или 
)
П. параллельна плоскости 
(соответственно 
или 
).
Уравнение плоскости в отрезках:
где 
, 
, 
—
отрезки, отсекаемые П. на осях 
и 
.
Уравнение
плоскости, проходящей через
точку 
перпендикулярно
вектору нормали 
:
в векторной форме:
Уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки 
, не
лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где 
-
единичный вектор, 
—
расстояние П. от начала координат.
Уравнение (2) может быть получено из
уравнения (1) умножением на нормирующий
множитель
(знаки 
и 
противоположны).
Определение по точке и вектору нормали
В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим, r0 является радиусом-вектором точки P0, заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка P с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от P0 к P, перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:
(Здесь
точка означает скалярное произведение,
а не умножение.)
Развернув выражение, мы получим:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например: Дано: точка на плоскости P(2,6, − 3) и вектор нормали N(9,5,2).
Уравнение плоскости записывается так:
9(x − 2) + 5(y − 6) + 2(z + 3) = 0
− 18 + 9x − 30 + 5y + 6 + 2z = 0
9x + 5y + 2z − 42 = 0