Процесс Эйткена

При оценке погрешности частичных сумм значение k в (2.4) может быть неизвестно. В этом случае можно использовать следующую модификацию правила Ричардсона. Вычислим три значения z₁, z₂, z₃ при трех номерах последовательности: n, nQ, nQ² и составим систему трех уравнений [1, 9]

(33)

Найдем разности

,

,

и, разделив одну на другую, определим Q^k

. (34)

Теперь можно найти z

. (35)

Как и в рассмотренных ранее случаях, мы нашли экстраполированное (уточненное) значение z=z*, а вместе с ним и оценку погрешности z_iz*.

Этот способ экстраполяции при неизвестном порядке точности принято называть алгоритмом Эйткена или ²-алгоритмом, который в более общем случае применяется для экстраполяции векторных последовательностей

.

В последнем выражении z_i – векторы, а скобками обозначается скалярное произведение.

Критерий размытости оценки

Оценка погрешности по правилу Рунге сводится к сравнению значения z_n с экстраполированным значением . Поскольку эта оценка справедлива при допущении, что величина точнее, чем z_n, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом. Повторим процесс экстраполяции и получим значение . Разность представляет собой оценку погрешности приближенного значения z_n.. Разность является оценкой погрешности экстраполированного значения или оценкой погрешности оценки погрешности (рис. 10). Отношение имеет смысл относительной размытости оценки погрешности.

Если , то это означает, что относительная размытость оценки мала, и такой оценке можно доверять.

Рис. 10. Размытость оценки погрешности

Пусть оценка погрешности представляется в виде интервала . Для определения порогового значения _n для принятия или отклонения полученной оценки желательно на основании имеющейся информации установить, не может ли при гипотетическом продолжении экстраполяций произойти переход получающихся значений левее или правее . Для этого предположим, что при последующих гипотетических экстраполяциях значение , как коэффициента уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями, будет сохраняться: . Тогда предельное удаление предельного значения от определяется суммой геометрической прогрессии . Отсюда следует неравенство

, (31)

где K1 – коэффициент «запаса» надежности оценки. Необходимость введения коэффициента K вызвано желанием получать достаточно надежные оценки в условиях неопределенности, вызванной влиянием нерегулярных составляющих погрешности. Тогда получим условие (критерий принятия оценки)

.

Примем величину K=2. Тогда пороговое значение , тогда при оценка принимается, а при отвергается. Это же значение было получено эмпирически при анализе реальных численных данных [9].

Визуализация результатов экстраполяции

Результаты экстраполяции и оценки погрешности удобно представлять на графике в виде зависимости (десятичного логарифма относительной погрешности) от логарифма n (числа отрезков разбиения) или h (шага сетки при равномерном разбиении). При этом каждая составляющая (степенная функция) представлялась бы на таком графике отрезком прямой. Значение ординаты соответствует числу верных знаков. В реальном случае отличие кривой, соответствующей результату определенной экстраполяции, от прямой свидетельствует о влиянии других составляющих погрешности. Надежные оценки получаются при достаточно большом расстоянии между точками кривых.

Оценку погрешности  можно проводить по правилу Рунге (сравнивать приближенное значение с экстраполированным, которое получено для этого приближенного значения). Можно также все приближенные значения сравнивать с одним числом, которое считается наиболее точным. Второй способ является более надежным при наличии нерегулярных составляющих (см. рис. П3.1, П3.2). Оценки погрешности зависят от выбора эталона , с которым сравниваются приближенные значения. Чтобы оценить эту зависимость и связать ее с величиной размытости оценки, рассмотрим разность

. (32)

Величину можно сравнить с и выразить в виде

,

где – некоторый коэффициент. Абсолютная величина связана с неопределенностью выбора эталона. Из практических соображений можно утверждать, что эта величина меньше 1, иначе это существенно исказило бы верхние кривые. Порядок этой величины определяется по графику разностью ординат между точками на двух верхних линиях. Поскольку для ее определения можно использовать не 3 значения, а относительное положение кривых, влияние случайных факторов на оценку погрешности и размытости существенно уменьшается.

Согласно (32) .

Таким образом, величина имеет тот же смысл, что и значение , а если , то эти определения совпадают с точностью до третьего члена геометрической прогрессии.

Численная фильтрация применялась для обработки результатов, полученных различными численными методами. В качестве примера на рис. 11,а приведены результаты вычисления второй производной по симметричной разностной формуле второго порядка, на рис. 11,б результаты численного интегрирования методом правых прямоугольников. В результате анализа можно утверждать, что вычисленные значения интегралов имеют 1-5 точных десятичных знаков, результат первой экстраполяции 3-10 знаков при относительной размытости менее 0.1.

Ограничение на уровне 14-15 знака объясняется погрешностью округления (применялись числа с двойной точностью). При этом следует отметить увеличение погрешности округления при численном дифференцировании с ростом n. При численном интегрировании этот рост погрешности округления менее заметен.

Аналогично выглядят результаты обработки численных данных, полученных при решении дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными).

а	б

Рис. 11. Результаты экстраполяции для различных примеров

Первая курсовая работа включает разработку программы, реализующий один из перечисленных методов численного дифференцирования или интегрирования, проведение численного эксперимента по решению тестовой задачи при разных значениях числа отрезков разбиения, ввод результатов эксперимента в электронные таблицы, проведение в них экстраполяций по одному из рассмотренных выше методов.