Численная фильтрация

При экстраполяции требуется априорное знание характера зависимости результата расчетов от числа узлов (или математической модели погрешности), например

, (26)

где – точное значение; – приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном n; – коэффициенты, которые предполагаются не зависящими от n; – величина, полагаемая малой по сравнению с при тех значениях n, которые использовались в данных конкретных расчетах, k₁,…, k_L – произвольные действительные числа (предполагается, что k₁<k₂<…< <k_L).

В математическом анализе обычно оценивается только первый член, поскольку остальные являются асимптотически (при n) бесконечно малыми более высокого порядка. Однако для конечных n остальные слагаемые могут вносить существенный вклад и должны приниматься во внимание.

Если решение задачи представляет собой функцию с несколькими непрерывными производными, то можно допустить возможность его разложения по формуле Тейлора, тогда – это часть ряда натуральных чисел. Тогда к задаче нахождения предельного при значения z можно подойти как к задаче интерполяции зависимости от параметра алгебраическим многочленом с последующей экстраполяцией до . Есть и другой подход, приводящий при условии постоянства к тому же алгоритму, но не требующий целочисленности . Это решение задачи численной фильтрации, т.е. последовательное устранение степенных слагаемых суммы (26) при сохранении значения константы z. Рассмотрим два значения , , вычисленные при числе узлов, равном и соответственно. Составим линейную комбинацию

и потребуем, чтобы, суммарный коэффициент при z был равен 1, а при (для определенного j) равен 0. Отсюда получим формулу фильтрации, которая совпадает с экстраполяционной формулой Ричардсона [1]

. (27)

Проводя последовательно экстраполяцию по всем парам соседних значений, получим отфильтрованную зависимость, не содержащую члена с

, (28)

где . (29)

Заметим, что отфильтрованная последовательность содержит на один член меньше, чем исходная. Если она содержит больше одного члена, то ее также можно отфильтровать, устранив степенную составляющую с . Операции фильтрации можно повторять последовательно для ,…,, если исходная последовательность содержит достаточное количество членов. Результаты экстраполяций удобно представлять в виде треугольной матрицы

(30)

Применение повторной экстраполяции при k_j=j известно под названием метода Ромберга. При его применении возникает ряд ограничений.

Применение повторной экстраполяции приводит к изменению коэффициентов суммы (26). При увеличение абсолютной величины коэффициентов может оказаться весьма существенным. Это ограничивает число возможных экстраполяций.

Величина в (26) может оказаться суммой регулярной составляющей, имеющей вид , и нерегулярной составляющей , обусловленной погрешностью исходных данных, которая, например, связана с ограниченной разрядностью чисел в машинном представлении. Тогда исходная нерегулярная часть погрешности, содержащаяся в вычисленных значениях , при каждой экстраполяции умножается на коэффициент

.

Для метода Ромберга, применяемого к последовательности (26) при , произведение таких множителей ограничено числом, приблизительно равным 8 (получено численно), т.е. метод Ромберга является устойчивым к погрешности исходных данных, но сам уровень нерегулярной погрешности может ограничить число возможных экстраполяций.