Рассмотрим решение примеров.

1. 

.

2. 

При вычислении определенных интегралов методом интегрирования по частям переменная интеграции не изменяется, поэтому не изменяются и пределы интегрирования.

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:

Применим формулу для вычисления определенных интегралов

Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла. В теории вероятностей важную роль играет интеграл Пуассона , который является несобственным интегралом с полубесконечным интервалом интегрирования от функции

Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале и обозначается . В этом случае говорят, что интеграл сходится. Если же конечного предела не существует, то несобственный интеграл расходится.

Рассмотрим решения примеров:

Таким образом, несобственный интеграл сходится и равен

Предела не существует, следовательно, несобственный интеграл конечного расходится.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой от функции на интервале

а ; b?

2. Дайте определение определенного интеграла как предела интегральных сумм.

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

4. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

5. Запишите формулу Ньютона–Лейбница.

6. Запишите формулу интегрирования методом замены переменной в определенном интеграле.

7. Запишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

8. Что называется несобственным интегралом?

9. В каком случае несобственный интеграл сходится? Расходится?

Тема 8. Геометрические и экономические приложения определенного интеграла

Литература:

1. Высшая математика для экономистов. Учебник / Под ред. проф.

Н.Ш. Кремера. М., 1997. Гл. 11. § 9, 10.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982. Гл. 12. § 6.

Понятие определенного интеграла вводится таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке а , b, определенный интеграл численно равен площади, ограниченной кривой , осью ОХ и прямыми :

В случае, когда функция отрицательна на отрезке а , b ,

Если плоская фигура ограничена двумя линиями и , то

Рассмотрим решение примеров.

1) Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой и осью OX.

Найдем координаты вершины параболы:

и точки пересечения с осью OX:

Построим параболу. Площадь, заштрихованную на чертеже, необходимо вычислить.

кв. ед.

2) Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой и прямой .

Построим гиперболу и прямую .

Найдем точки пересечения кривой и прямой

Тогда площадь плоской фигуры будет равна

кв.ед.

Экономический смысл интеграла

Более подробно остановимся на применении неопределенного и определенного интегралов в экономических задачах.

Если рассматривать издержки производства как функцию количества выпускаемой продукции , то отношение приращения издержек производства С к приросту продукции Q даст среднее издержки производства на единицу продукции Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства и определяются не постоянными производственными затратами (производственные помещения, оборудование и т.п.), а лишь переменными затратами на сырье, топливо, рабочую силу.

Интегрирование позволяет решить обратную задачу: по заданной функции предельных издержек производства найти суммарные затраты.

Пусть для некоторой фирмы предельные издержки имеют вид:

Требуется найти суммарные затраты при условии, что постоянные издержки равны 90 условных единиц.

Очевидно, что

При условии, что постоянные издержки, не зависящие от объема производства, равны 90 ед., найдем постоянную интегрирования С:

, отсюда С = 90.

Тогда суммарные затраты на производство будут равны:

Если рассмотреть простую двухсекторную макроэкономическую модель национального дохода Y, то он представляется суммой потребления С и сбережений S, идущих на капиталовложения или инвестиции:

Очевидно, что потребление и сбережение являются функциями национального дохода: и вопрос состоит в том, как они будут изменяться с изменением национального дохода. Для решения этого вопроса вводятся понятия предельной склонности к потреблению и предельной склонности к сбережению, которые определяются как производные:

Решим обратную задачу. Требуется определить потребление С, если известна предельная склонность к потреблению, заданная зависимостью и потребление составляет 85 единиц, когда национальный доход равен 100 единицам.

Найдем постоянную интегрирования С, подставляя С = 85 при Y =100.

тогда С = 33.

Следовательно, для функции потребления получаем:

Можно дать прогноз, что при национальном доходе в 200 единиц потребление составит . Тогда инвестиции возрастут с 100 – 85 = 15 единиц до 200 – 135,8 = 64,2 единиц. В этом случае национальный доход вырос в два раза, а инвестиции возросли больше, чем в четыре раза.

Дадим понятие определенного интеграла. Пусть на отрезке а,b  задана функция Разобьем отрезок а, b на элементарные отрезки шириной х_i и значение функции в некоторой точке каждого отрезка Сумму вида назовем интегральной суммой функции на отрезке а, b, она будет зависеть от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и выбора точек . Если предел последовательности интегральных сумм при max х_i0 не зависит от способа разбиения и выбора точек и существует, то он называется определенным интегралом функции на отрезке а,b и обозначается .

На основании изложенного рассмотрим экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция есть производительность труда, которая зависит от времени. Найдем объем продукции и, произведенный за промежуток времени 0, Т. Отрезок 0, Т разобьем точками t_i на частичные отрезки t_i; за промежуток времени t_i объем произведенной продукции , где Весь объем продукции

,

что, согласно предыдущему, есть определенный интеграл и тогда

Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливает формула Ньютона-Лейбница:

Используя экономический смысл определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, найдем объем продукции, произведенной за четыре года, если производительность труда зависит от времени как .

Тогда