39

4. Дифференциальное исчисление

4.1Производная функции

Производной функции у = f (х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 0:

y

- приращение функции у;

- приращение аргумента х.

4.2. Геометрический смысл производной

Производная функции f(х) в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой у = f (х) в точке х₀, то есть у = tg a, где a – угол наклона касательной к оси Ох в данной точке.

Уравнение касательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х₀, у₀) имеет вид:

у – у₀ = f ¢ (х₀) (х – х₀),

где угловой коэффициент k =tg a в точке х₀ и равен производной функции в этой точке.

4.3 Механический смысл производной

Производная функции – есть мгновенная скорость изменения функции в точке х₀. Возьмем в качестве функции путь S, а в качестве аргумента время t. Средняя скорость движения материальной точки в промежутке времени t равна отношению промежутка пути S к промежутку времени t. Если устремим промежуток времени к нулю, t 0, то получим мгновенную скорость движения материальной точки и эта мгновенная скорость равна производной от пути по времени. Обозначается это так:

V = S = .

4.4 Применение производной в экономических задачах.

В экономической теории существует понятие эластичности, которое было введено А. Маршалом в связи с анализом функций спроса. С математической точки зрения понятие эластичности определяется с помощью понятия производной.

Эластичностью функции (function elasticity) - называется предел отношения относительного приращения функции y/у к относительному приращению х/х, когда х0 и у0. Эластичность обозначается символом Е(у) и выражается формулой :

Е(у)=

4.5. Дифференциал функции

Дифференцирование функции – это нахождение (отыскание) производной функции.

Дифференциалом функции у = f(х) называется главная часть её приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента dх называется приращение аргумента х. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

dy = f (x) dx.

4.6. Основные правила дифференцирования

1. Производная от суммы (разности) функций u = u(х) и v = v(х) равна сумме (разности) производных этих функций:

(u v) = uv

2. Постоянный множитель c можно выносить из-под знака производной:

( c• u ) = с• u

3. Производная от произведения двух функций u = u(х) и v = v (х) вычисляется по формуле:

(uv)=u• v+u• v

4. Производная от частного двух функций вычисляется по формуле :

4.7. Правило дифференцирования сложной функции

Если у = f (u), а u = u (х), то есть y = y{u (х)}-сложная функция, тогда производная сложной функции находится по формуле:

y_x = y_u• u_x

Пример

Найти производную сложной функции:

у = ( х² +5)³

Решение: обозначим у = u³, где u = х² + 5, запишем производные

у_u = 3u² u_x = 2х, подставим в формулу производной сложной функции:

у_х = 3u² 2х = 3(х² + 5)² 2х .