Методика введения понятия «комплексное число»
При первом подходе к введению понятия «комплексное число» можно воспользоваться следующей методикой.
1. Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Утверждается (с привлечением теории геометрии), что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками координатной плоскости. И как следствие: каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, изображаемое некоторой точкой координатной плоскости.
Определение. Пара
действительных чисел, заданных в
определенном порядке, называется
комплексным числом.
2. Выделяется подмножество
изображаемое точками оси абсцисс,
которое является геометрическим образом
множества действительных чисел.
Устанавливается соответствие между
множеством действительных чисел и
множеством комплексных чисел. Комплексное
число вида
– действительное число.
Определение. Комплексное число вида
,
где
,
называется мнимым числом.
Комплексное число вида
,
где
,
называется чисто мнимым числом.
Для числа вида
вводятся понятия: (а) – действительная
часть комплексного числа, (
)
– мнимая часть комплексного числа.
Далее определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами. И только затем вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа и правила выполнения действий с учетом формы записи.
При подходе Ш.А. Алимова к введению понятия «комплексного числа» рекомендуется следующая методика работы.
1. Мотивационный момент: нахождение
корней уравнения
;
введение i как значения
квадратного корня из – 1.
Определение. Комплексными числами
называют выражения вида
,
где а и
– действительные числа, а i –
некоторый символ такой, что
.
2. Здесь же определяются сопутствующие понятия: действительная и мнимая части комплексного числа.
3. Далее вводятся действия с комплексными числами в алгебраической форме, дается геометрическая интерпретация комплексного числа, тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи.
Н.Я. Виленкин предлагает другой подход к введению понятия «комплексного числа». Он дает определение комплексного числа (вариант первого подхода). Далее сразу вводится мнимая единица, алгебраическая форма записи и действия в алгебраической форме записи и т.д. в той же последовательности, что в подходе Ш.А. Алимова.
Выводы.
Расширение числовых систем осуществляют с учетом принципа перманентности. В учебниках математики реализуются различные последовательности расширения множества натуральных чисел до множества рациональных чисел.
Иррациональные числа отражают несоизмеримость отрезков. Пополнение рациональных чисел иррациональными приводит к непрерывному множеству действительных чисел.
Комплексные числа можно вводить на основе разного сочетания алгебраического и геометрического подходов.