Методика введения понятия «комплекс­ное число»

При первом подходе к введению понятия «комплекс­ное число» можно воспользоваться следующей методикой.

1. Устанавливается взаимно однозначное соответствие меж­ду множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Утверждается (с привлечением теории гео­метрии), что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками координат­ной плоскости. И как следствие: каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, изображаемое некоторой точкой координат­ной плоскости.

Определение. Пара действительных чисел, заданных в определенном порядке, называется комплексным числом.

2. Выделяется подмножество изображаемое точками оси абсцисс, которое является геометрическим образом множества действительных чисел. Устанавливается соответствие между множеством действительных чисел и множеством комплексных чисел. Комплексное число вида – действительное число.

Определение. Комплексное число вида , где , называется мнимым числом.

Комплексное число вида , где , называется чис­то мнимым числом.

Для числа вида вводятся понятия: (а) – действительная часть комплексного числа, () – мнимая часть комплексного числа.

Далее определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами. И только затем вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи ­комплексного числа и правила выполнения действий с учето­м формы записи.

При подходе Ш.А. Алимова к введению понятия «компле­ксного числа» рекомендуется следующая методика работы.

1. Мотивационный момент: нахождение корней уравнения ; введение i как значения квадратного корня из – 1.

Определение. Комплексными числами называют выра­жения вида , где а и – действительные числа, а i – не­который символ такой, что .

2. Здесь же определяются сопутствующие понятия: дейст­вительная и мнимая части комплексного числа.

3. Далее вводятся действия с комплексными числами в алге­браической форме, дается геометрическая интерпретация комплексного числа, тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Н.Я. Виленкин предлагает другой подход к введению поня­тия «комплексного числа». Он дает определение комплексного числа (вариант первого подхода). Далее сразу вводится мнимая ­единица, алгебраическая форма записи и действия в алгебраич­еской форме записи и т.д. в той же последовательности, что в подходе Ш.А. Алимова.

Выводы.

Расширение числовых систем осуществляют с учетом принципа перманентности. В учебниках математики реализуются различные последовательности расширения множества натуральных чисел до множества рациональных чисел.

Иррациональные числа отражают несоизмеримость отрезков. Пополнение рациональных чисел иррациональными приводит к непрерывному множеству действительных чисел.

Комплексные числа можно вводить на основе разного сочетан­ия алгебраического и геометрического подходов.