![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Акустический метод
- •Элементы теории упругости
- •Уравнения акустики
- •Упругие волны в однофазных горных породах
- •Упругие волны в многофазных горных породах
- •Методы решения прямой задачи скважинной акустики
- •Акустические волны в скважине Водные и поверхностные волны в скважине
- •Головные волны в скважине
- •Влияние неоднородности околоскважинного пространства на параметры головных волн
- •Заключение
Методы решения прямой задачи скважинной акустики
Выше рассмотрены акустические свойства безграничных изотропных сред. Появление цилиндрических границ, обусловленных наличием скважины и скважинного прибора, меняет условия распространения акустических волн. Особенно существенно их влияние на параметры волн, распространяющихся в скважине и в непосредственной близости от нее.
Распространение упругих волн в среде со скважиной и скважинным прибором описывается решением краевой задачи для волнового уравнения вида (2.5) с ненулевой правой частью, выражающей функцию источника. Аналитически это уравнение в общем случае не решается. Для конкретных условий его интегрирование осуществляют численными методами. Обычно применяют метод конечных разностей и операторный. В ряде случаев волновое поле в скважине исследуют методами натурного моделирования.
Метод конечных разностей применяют при комбинации плоских и цилиндрических границ раздела. Подобно тому, как это делалось при решении прямой задачи электрического каротажа, производные, входящие в волновое уравнение, заменяют их разностными аппроксимациями так, что в узлах сетки, дискретизирующей пространство, значения непрерывной и дискретной функций (потенциала, давления, смещения) совпадают. В результате волновое уравнение второй степени в частных производных сводят к системе алгебраических уравнений. Однако конечно-разностные методы имеют серьезные недостатки. Основной из них в том, что полученное решение характеризует волновой процесс в целом, в связи, с чем нельзя корректно выделить составляющие его волны и оценить их параметры.
Операторный метод позволяет в принципе определить типы возникающих в скважине волн и оценить параметры каждой из них. Суть метода в том, что от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям переходят посредством ряда интегральных преобразований. После решения алгебраического уравнения, с помощью обратных преобразований получают решение исходного дифференциального уравнения. Операторный метод эффективен для относительно простых моделей, например для случая скважины, пересекающей пласт бесконечной мощности с осесимметрично расположенным скважинным прибором, а также в случае упрощающих (асимптотических) приближений.
Натурное моделирование позволяет изучить условия образования и распространения волн для сложных моделей среды. К таким моделям в первую очередь следует отнести комбинацию цилиндрических границ, имитирующих обсаженную скважину, а также комбинацию цилиндрических и горизонтальных границ. Кроме того, натурное моделирование дает возможность учесть реальные характеристики акустических излучателей, приемников, изоляторов и оценить, таким образом, эффективность их конструкции.
Особую трудность при натурном моделировании представляет подбор материалов. Обычно их готовят на основе эпоксидных смол и специально подобранных наполнителей. Обсаженные скважины имитируют, используя стальные, пластмассовые, стеклянные трубки. В ряде случаев обеспечивают возможность изменения давления и температуры.
С помощью перечисленных методов изучены основные закономерности пространственно-временного распределения волнового поля в открытых и обсаженных скважинах.
Применение операторного метода рассмотрим
на примере решения следующей задачи.
Скважинный прибор радиуса
и бесконечной длины с абсолютно жестким
корпусом — последнее условие означает,
что амплитуда распространяющейся по
нему волны стремится к нулю, расположен
на оси скважины радиусом
,
заполненной идеальной жидкостью,
скорость продольной волны в которой
,
а плотность
.
Скважина пересекает изотропный пласт
бесконечной мощности, представленный
однофазной (К — действительное число)
породой, скорости продольной и поперечной
волн в которой
и
а плотность
.
На корпусе прибора расположены кольцевой
излучатель и приемники (кольцом считаем
цилиндр, высота которого стремится к
нулю). В момент времени t
= 0, на бесконечно близком расстоянии от
стенки прибора возник мгновенный импульс
акустического давления (δ - импульс) в
виде кольца радиусом R.
Задача заключается в нахождении полного
поля акустического давления Р(t)
в любой точке внутри скважины.
Отметим, что задача с δ-импульсом наиболее общая. Для источника, генерирующего колебания, описываемые произвольной функцией F(t), вид поля f(t) связан с полем Р(t) интегралом свертки
С учетом вышеперечисленных условий и формулы (2.7) уравнение (2.5) для давления в скважине примет вид:
, (2.36)
где П — константа, обеспечивающая необходимую размерность и имеющая модуль, равный единице, а 1/2πR — множитель, позволяющий перейти к плотности кольцевого источника.
Преобразуем уравнение (2.36) для условий осевой симметрии следующим образом:
(2.37)
Для среды вне скважины, где источник
отсутствует, применимы аналогичные
уравнения с нулевой правой частью.
Поскольку эта среда твердая, запишем
их для скалярного φ и векторного
потенциалов.
Уравнение для скалярного потенциала:
(2.38)
При выводе волнового уравнения для
векторного потенциала учтем, что в
данном случае div
= 0. С учетом этого обстоятельства можно
показать, что в условиях осевой симметрии
отлична от нуля только
-
компонента векторного потенциала, т.
е. ψ =
.
В результате формула для лапласиана от
векторной функции упрощается:
. (2.39)
Волновое уравнение для векторного потенциала с учетом выражения (2.39):
В систему уравнений (2.37), (2.38), (2.40) входят производные по r, z, t. Применив преобразование Фурье сначала по t, а затем по z, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с производными только по r:
(2.41)
Обыкновенные дифференциальные уравнения,
входящие в систему (2.41) — уравнения
Бесселя. Из теории известно, что решение
первого из них, удовлетворяющее условию
конечности поля на стенке прибора (при
r→)
и условию затухания излучения на
бесконечности (Р→0 при r→∞),
имеет вид:
(2.42)
где
,
- функции Ханкеля нулевого порядка
второго и первого рода, соответственно,
от мнимого аргумента
.
Наличие трех слагаемых в квадратных
скобках связано с существованием в
зазоре «стенка скважины — прибор» трех
типов волн: приходящей — отразившейся
от стенки скважины, и двух уходящих —
прямой и отразившейся от стенки прибора.
Поскольку при r→∞ функция
возрастает, а функция
убывает, первое слагаемое характеризует
приходящую волну, а два других — уходящие.
Соответственно множитель А является
коэффициентом отражения от стенки
скважины, а множитель В — от стенки
прибора. Решения уравнений (2.41б) и
(2.41в), удовлетворяющие условиям затухания
излучения на бесконечности, имеют вид:
(2.43)
где
—
функция Ханкеля первого порядка первого
рода, С и D — постоянные
коэффициенты.
Равенства (2.42) и (2.43) содержат четыре
неизвестных коэффициента: А, В, С, D.
Для их нахождения необходимо
воспользоваться четырьмя условиями
сопряжения, выраженными через
,
и
.
Выразим через образ потенциала
решение (2.42) уравнения (2.41а).
Согласно выражению (1.7)
Волновое уравнение для скалярного
потенциала
при
можно записать с нулевой правой частью:
.
Отсюда с учётом формулы (2.7)
(2.44)
Образ функции
— функция
.Поэтому
. (2.45)
Сформулируем условия сопряжения.
Поскольку первая среда — стенка прибора — абсолютно жесткая, условия сопряжения на границе с ней выражаются в равенстве нулю нормальных смещений (первое условие сопряжения). Для границы скважинная жидкость — пласт условия сопряжения выражаются в равенстве нормальных смещений (второе условие), равенстве нормальных напряжений (третье условие) и, поскольку одна среда жидкая — равенстве нулю касательных напряжений (четвертое условие).
Согласно условию задачи, определению подлежит поле акустического давления в скважине. Его находят с помощью обратного преобразования Фурье для выражения (2.42), используя найденные значения коэффициентов А и В. Полученный в результате интеграл содержит специальные функции и не имеет в общем случае аналитического решения. Условно решение можно представить в виде
(2.44)
где член
характеризует прямую водную волну, а
члены ряда — отраженные волны, под
которыми следует понимать отраженные
водные волны, а также волны поверхностные
и головные. Каждый член ряда описывает
регистрируемое кольцевым приемником
акустическое поле, созданное волнами
всех названных типов, l
раз отразившихся от стенки скважины и
n — от стенки прибора,
и являющееся функцией времени t,
координаты кольцевого приемника z
и его радиуса r. Сумма
ряда описывает суммарное поле,
регистрируемое после l-,
n- отражений. В принципе
эта сумма распадается на две, одна из
которых соответствует отраженным
волнам, распространяющимся от прибора
(n=l)
а другая — отраженным волнам,
распространяющимся к прибору (n=l-1).
Поскольку радиус приемника
,
волны, распространяющиеся от прибора,
им не регистрируются