Упругие волны в однофазных горных породах

К однофазным можно отнести горные породы вулканоген­ного типа (габбро, диабазы, граниты), сильно метаморфизованные изотропные песчаники, известняки и другие литологические разности с коэффициентом пористости <3-5%. В сейсмоакустическом диапазоне частот, с учетом реализуемой на практике точности измерений, изотропные породы этого типа можно условно считать идеально упругими.

В отличие от флюидов твердые среды обладают сдвиговой упругостью в связи с чем в них возникают не только нормальные но и касательные напряжения. Напряжения связаны с деформациям обобщенным законом Гука (1.6), выражающим уравнения состояния для однородной изотропной среды при температуре Т = const: ; при i = j; при i ≠ j. Для получения системы волновых уравнений необходимо, как и в случае с жидкостью, найти линеаризован­ные уравнения движения и неразрывности, т. е. записать пол­ную систему уравнений гидродинамики.

Линеаризованные уравнения неразрывности для жидкости (2.2б) и однофазной твердой среды имеют одинаковый вид. Исключив из (2.2б) оператор , получим

(2.8а)

где — плотность твердой среды.

Такое преобразование допустимо, поскольку при его прове­дении теряются только члены, не зависящие от времени и, следовательно, не связанные с волновым движением среды.

Уравнение движения для однофазной твердой среды сходно с уравнением движения (2.2а) для жидкости, однако вместо давления Р в нем согласно (1.3) фигурирует тензор напряжений . Поэтому, положив плотность сторонних сил, в том числе сил трения, равной нулю, запишем:

. (2.8б)

Выразив с помощью формулы (1.6) тензор а через компоненты тензора деформаций, а последние с помощью фор­мулы (1.4б) через смещения, получим уравнение Ламэ — уравнение движения в векторной форме:

(2.9)

В общем случае векторное поле, как известно,— сумма двух полей — потенциального и соленоидального, характеризующихся скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом Сме­щение в первом задает вектор , во втором — вектор . Подставляя , в (2.9), получим:

. (2.10)

Из выражения (2.10) можно получить отдельные волновые уравнения для потенциальной и соленоидальной частей смеще­ния. Действительно, применив ко всем его членам оператор div, выделим члены, характе­ризующие потенциальную часть поля:

Меняя по­рядок дифференциальных операторов по времени и координа­там, можно записать:

(2.11)

Выражение (2.11)—уравнение Лапласа. Из теории известно, что для безграничных сред и функций, обращающихся на бесконечности в нуль, его решение тождественно равно нулю. Поскольку на бесконечности потенциал φ = 0, функция, стоящая в выражении (2.11) в скобках, отвечает указанному условию. Следовательно,

(2.12)

Применив оператор rot, выделим из уравнения (2.10) члены, характеризующие соленоидальную часть поля:

(2.13а)

Преобразуем выражение (2.13а):

или

(2.13б)

Перепишем (2.13б) в виде:

(2.13в)

Известно, что для однозначного описания соленоидального поля необходимо задать не только его ротор, но и дивергенцию. Если задать , выражение (2.13в) можно, как того тре­бует специфика изучаемого явления, свести к волновому уравнению. Действительно, (2.13в) преобразуется при этом в урав­нение Лапласа, решение которого, как и в случае, описанном при выводе уравнения (2.12), равно нулю. В результате по­лучим:

(2.14)

Выражения (2.12) и (2.14)—волновые уравнения для про­дольных и поперечных волн. Тот факт, что уравнение Ламэ распадается на два независимых уравнения, свидетельствует, что в безграничной однородной изотропной среде продольная (Р) и поперечная (S) волны распространяются независимо. В средах, в которых λ, µ и — функции координат, Р- и S-волны не раз­деляются.

Найдем скорости Р- и S-волн в рассматриваемых условиях.

Однофазная однородная среда условно отнесена нами к идеально упругим, поэтому решение уравнения (2.12) для плоской продольной гармонической волны, распространяющейся в направлении оси х, ищем в виде , т. е. считая ехр(-bx)=1. Подставляя выражение для φ (в 8.12), получим дисперсионное уравнение:

. (2.15)

Соответственно скорость продольной волны, распространяю­щейся в положительном направлении оси х,

. (2.16)

Аналогично найдем скорость поперечной волны

(2.17)

Константы Ламэ положительны, поэтому скорость продольной волны больше, чем поперечной. Поскольку поглощение в однофазных породах незначительно, незначительна и объем­ная дисперсия скорости, а потому волны сейсмического и акустического диапазонов частот распространяются с практически одинаковыми скоростями.

Константы Ламэ — важнейшие физико-механические характеристики горных пород. Измерив скорости , и определив независимым путем плотность можно, воспользовавшись системой уравнений (2.16) и (2.17), рассчитать константы λ и µ, а зная их — другие упругие модули горных пород — модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль всестороннего сжатия. Знание этих модулей необходимо в первую очередь при изучении прочностных свойств горных пород, т.е. при решении задач инженерно-геологического характера.