7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье и на вид самого ряда. Если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид (1), где и .

Если функция нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид (2), где .

Доказательство. Как известно, если интегрируема на симметричном отрезке , то .

Если функция - четная, то и - четная функция , а - нечетная функция .

Если же - нечетная функция, то, очевидно, функция - нечетная, а - четная. С учетом записанного соотношения из формул, ранее записанных для получаем формулы (1) и (2).

7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 2π.

Пусть функция , определенная на отрезке имеет период 2 , где – произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав подстановку , данную функцию преобразуем в функцию , которая определена на отрезке и имеет период . Действительно, если , то , если , то и при имеем , т.е. . Разложение функции в ряд Фурье на отрезке имеет вид , где (), ().

Возвращаясь к переменной и заметив, что , , получим , где () , ().

Полученный ряд с коэффициентами, вычисляемые по выше записанным формулам, называется рядом Фурье для функции с периодом .

Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2π-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых . В частности, если на отрезке четная, то ее ряд Фурье имеет вид , где , , Если - нечетная функция, то , где ,

Пример. Разложить функцию на интервале в ряд Фурье.

Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле. По полученным только что формулам при получаем , где , Вычислим : , Таким образом, , для .

VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)

8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.

При решении различных задач в различных областях науки, в том числе в экономике, часто используют математические модели, при описании которых применяют уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения и называются дифференциальными. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так решением уравнения является функция – первообразная для функции .

Если искомая неизвестная функция зависит от одной переменной, то Д.У. называют обыкновенным, в противном случае Д.У. в частых производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные Д.У. наивысший порядок производной, входящей в Д.У. называется порядком этого уравнения (например - обыкновенное уравнение четвертого порядка). Процесс нахождения решения Д.У. называется его интегрированием.

В качестве примера решения задач с использованием Д.У. можно, например, рассмотреть уравнение Циолковского. Обозначим скорость ракеты в некоторый момент времени через а массу . Пусть в этот момент времени включается двигатель, причем скорость выхлопных газов равна . Через время масса ракеты уменьшится и станет равной , а скорость увеличится и станет равной . Сравним импульс системы ракета + выхлопные газы в моменты времени и . Первый равен , второй минус импульс выхлопных газов. Итоговое уравнение примет вид (согласно закону сохранения импульса) .

Пренебрегая бесконечно малой второго порядка , получим:

или – это дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решая его методом интегрирования получим , считая ,получим . Эта формула определяет изменение скорости ракеты в зависимости от изменения ее массы (формула Циолковского).