8. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции . Если можно найти первообразную функции , то интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:

. Но поиск первообразной функции иногда весьма сложен, кроме того не для всякой функции первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых интеграл находится с любой степенью сложности.

8.1. Формулы прямоугольников

П

Рис.9.

усть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить интеграл численно равный площади соответствующей трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок на равных частей длины с помощью точек . Можно записать, что . В середине каждого отрезка . Построим ординату графика функции (Рис.9.). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью . Тогда сумма площадей всех прямоугольников даст площадь фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла:. Эта формула и называется формулой прямоугольников. Абсолютная погрешность оценивается с помощью следующего соотношения , где - максимальное значение на отрезке .

8.2. Формула трапеций

Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников. Только на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок на равных частей с длиной . Абсциссы точек деления . Пусть соответствующие им ординаты графика функции, тогда расчетные формулы для этих значений примут вид: ,. Заменим кривую ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат и . Тогда площадь криволинейной трапеции с основанием , и высотой :

или - это формула трапеций. Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы:

, где - максимальное значение при .

8.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в случае формулы трапеции, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .

Выводить мы ее не будем, а ограничимся записью конечного выражения:

- это так называемая формула Симпсона.

Абсолютная погрешность оценивается соотношением , где - максимальное значение при .

4. Кратные интегралы

4.1. Двойной интеграл. Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости XOY задана непрерывная функция . Разобьем область на n элементарных областей (рис.1), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшие расстояния между точками области) – через . В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений: . Эта сумма называется интегральной суммой в области . Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Таким образом двойной интеграл определяется равенством . В этом случае функция называется интегрируемой в области , - область интегрирования;

х, у – переменные интегрирования, dxdy (или dS) элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? Ответ дает следующая теорема:

Теорема. (Достаточное условие интегрируемости функции) Если функция непрерывна в замкнутой области , то она в этой области интегрируема.

Далее мы будем рассматривать только непрерывные функции, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.