
- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
- •Часть II Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
2.Поверхности второго порядка
1) Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая K- называется направляющей, а L – образующей цилиндра. Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а бразующие || координатной оси, то есть перпендикулярно этой плоскости. Пусть в Oxy лежит линия K, а ее уравнение F(x,y)=0. Построим цилиндр с образующими || оси Oz и направляющей K.
В
. M (x,y,z) L N K x z y
Рис.1.
Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M(x,y,z), так как оно не содержит Z. Так как M- любая точка цилиндра то уравнение F(x,y)=0, и будут уравнения цилиндра с образующими || оси Oz. В случае если образующая || оси Oy F(x,y)=0, если образующая || оси Ox; F(y,z)=0.
Название цилиндра определяется формой направляющей. Если направляющей служит эллипс, в плоскости Oxy, то цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром частный случай эллипса- окружность дает круговой цилиндр и т.д. все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, т.к. их уравнения есть уравнения второй степени.
2) Поверхности вращения. Конические поверхности.
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишут в виде :
(1)
O1(0,0,z1) y L
Рис.2.N
(0,y1,z1)
M
(x,y,z)
,z1).
Отрезки O1M
и O1N
являются радиусами одной и той же
окружности. Поэтому O1M=O1N,
но
а
тогда
или
,
кроме того Z1=Z
.
Так как точка N лежит на кривой L , то ее координаты удовлетворяют уравнениям (1). Стало быть, F(y1,z1)=0,исключая вспомогательные координаты y1 и z1 придем к соотношению
- это искомое уравнение .
Это уравнение - поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки M этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на поверхности вращения.
Если кривая вращается вокруг других
осей Ox и Oy,
то уравнение будет носить аналогичный
характер соответственно
и
.
Так , например, вращая прямую y=z
вокруг оси Oz получим
поверхность вращения описываемую
уравнением
или
-
это конус второго порядка
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку p и пересекающими данную плоскую линию L( не проходящую через p) называются конической поверхностью или конусом. При этом L- направляющая конуса p- ее вершина, а прямая описывающая поверхность называется образующей.
Пусть направляющая L задана уравнениями:
L
В
M(x,y,z)
N(x1,y1,z1)
P(x0,y0,z0)
Рис.3.
А канонические уравнения образующих проходящих через т.P и т. N имеют вид.
Исключая из этих уравнений
,
и
получим уравнение конической поверхности
связывающее текущие координаты x,
y и z.
Пример : составить уравнение конуса с вершиной в т.О(0,0,0).Если направляющая - эллипс
, лежащий в плоскости Z1=с.
Решение: Каноническое уравнение
образующих, проходящих через т.О(0,0,0) и
т.N(x1,y1,z1),
полученную при пересечении образующей
OM с эллипсом,
будет
учитывая, что Z1=с,
получим:
,
откуда
;
Подставляя значения x1
и y1 в
уравнение эллипса, с учетом того, что
N(x1,y1,z1)
лежит на эллипсе, можно получить
,
подставляя сюда ранее полученное
значения x1
и y1
получим
или окончательно
- это и есть уравнение конуса.
3) Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
По заданному уравнению поверхности второго порядка(те поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второго порядка) будем определять ее геометрическим вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными.
а) Эллипсоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
Рассмотрим сечения поверхности описываемой этим уравнением с плоскостями || плоскости Oxy. Уравнения этих плоскостей Z=h, где h- любое число. Линия, получаемая в сечении, будет определяться двумя уравнениями:
(1)
Исследуем это уравнение.
а) Если |h|>c, c>0,
то
.
Точек пересечения нашей поверхности с
плоскостями Z=h
не существует;
б) Если |h|<c
, то уравнения (1) можно записать в
виде:=1
т.е. линия пересечения есть эллипс с полуосями:
;
При этом, чем меньше |h|, тем больше
полуоси
1
и b1 , при h=0
они достигают своих max
значений
1=
,
b1=b.
Уравнение примет вид:
с z
c x y b
Рис.4.,b,c-
называются полуосями
эллипсоида, если
≠
b≠ c, то
эллипсоид называется трехосным.
Если какие-либо две равны, то получается
эллипсоид вращения. Если
=b=c,
то получим сферу -
.
б) Однополостный гиперболоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
=1
Пересекая эту поверхность плоскостью Z=h, получим линию пересечения, уравнение которой имеет вид:
или
Как видно, этой линий является эллипс с полуосями:
и
П
h
олуоси
1
и b1 достигают min
при h=0,
1=
и b1=b.
При возрастании |h|
1
и b1 будут возрастать.
Е
a1 a
b1 b y
сли
пересекать эту поверхность плоскостями
x=h и y=h,
то в сечении получим гиперболы. Найдем,
например, линию пересечения нашей
поверхности с полуосью Oyz,
уравнение которой x=0.
Подставляя, получим:
x
Рис.5.
Анализ сечений показывает, что поверхность, определяемая нашим уравнением, имеют форму бесконечно расширяемой трубки. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом (рис.5.).
с) Двухполосной гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением:
Если эту поверхность пересечь плоскостью
Z=h, получим
линию пересечения, описываемую
уравнениями:
Отсюда следует, что :
а) если |h|<c, то Z=h не пересекает поверхность;
б) если |h|=с, то плоскости Z=c касаются данной поверхности в точках (0,0,c) и (0,0,-c);
в) если |h|>c, то уравнения можно записать так:
- эти уравнения определяют эллипс,
полуоси которого возрастают с ростом
|h|.
П
zересекая
поверхность координатными плоскостями
Oyz(x=0) и
Oxz(y=0), получим
в сечении гиперболы, уравнения которых
соответственно:
У
x y h
Рис.6.
обеих гипербол действительной осью
является ось Oz. Метод
сечений позволяет изобразить эту
поверхность, как поверхность, состоящую
из двух полостей, имеющих форму выпуклых
неограниченных чаш. Эта поверхность
называется двуполостным гиперболоидом
(рис.6.).
д) Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную
уравнением
где p>0,
>0.
Рассечем эту поверхность плоскостью
Z=h. в сечении
получим линию, уравнение которой есть
а
z)
если h<0, плоскости Z=h
поверхность не пересекает;
б)
если h=0, то Z=0
касается поверхности в т.O(0,0,0);
в
h x y
Рис.7.
)
если h>0,то в сечении-
эллипс уравнение которого имеет вид:
его полуоси возрастают с ростом h.
При пересечении Oxz и Oyz получатся параболы:
и
Таким образом, поверхность будет иметь вид выпуклой бесконечно расширяющейся чаши- это эллиптический параболоид (рис.7.).
е) Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением:
где p>0, q>0. Рассечем эту поверхность плоскостями Z=h. Получим кривую, которая при h≠0 является гиперболой:
1) при h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox;
2) при h<0 параллельны оси OY:
3) при h=0 линия пересечения
распадается
на пару пересекающихся прямых:
и
.При
пересечении поверхности плоскостями
|| плоскости Oxy, будут
получаться параболы:
ветви которых направлены вверх. П
z 0 y
ри
y=0 в сечении получим
параболу с вершиной в т.О(0,0,0) и осью
симметрии Oz.
x
П
Рис.8.
ветви которых направлены вниз.
Анализ линий пересечения позволяет определить, что она имеет вид седла (рис.8.). Эта поверхность- гиперболический параболоид.