Ассоциативное исчисление

Ассоциативное исчисление (система Туэ) U – формальная система F.S., задающая конечно определенные ассоциативные системы (полугруппы) K_u.

Всякое ассоциативное исчисление U=<A, Σ> определяется указанием некоторого алфавита A и конечного списка Σ соотношений в A – пар слов в этом алфавите α_i↔β_i. Пара α_i→β_i понимается как левая подстановка, а β_i→α_i – как правая постановка в заданное слово αA^*=eAA∙A…A^k…(kN; e – пустое слово).

Допустимым относительно списка Σ действием над словами в алфавите A называется любая подстановка одной из частей какого-либо соотношения α_i↔β_i ((α_i↔β_i)Σ) вместо вхождения другой части того же соотношения.

Ассоциативное исчисление U=<A, Σ> представляет собой разрешение производить, исходя из любого слова RA^*, любые допустимые относительно списка Σ действия.

Пример:

Подстановка ab↔bcb применима четырьмя способами к слову P₁=abcbcbab: замена каждого из двух вхождений bcb даст слова aabcbab и abcabab, а замена каждого из двух вхождений ab дает слова bcbcbcbab и abcbcbbcb. В то же время к слову P₂=bacb эта подстановка не применима, а подстановка вида α↔e означает, что из преобразуемого слова P_iA^* выбрасывается вхождение слова α, а также что между двумя какими-либо буквами преобразуемого слова или впереди него, или за ним вставляется слово α (e-пустое слово, eA^*, eA). Обо всех словах Q, которые при этом получаются (в том числе и о самом исходном слове P), говорят, что они эквивалентны P в ассоциативном исчислении U=<A,Σ> (в символической записи U:P_╨Q).

Отношение _╨ для любого ассоциативного исчисления U рефлексивно, симметрично и транзитивно. Кроме этого, из U:P_1╨Q и P_2╨R следует, что U: P₁P_2╨QR. Это позволяет естественным образом сопоставить всякому ассоциативному исчислению U некоторую конечно определенную ассоциативную систему K_u, взяв в качестве ее элементов классы слов, эквивалентных друг другу в U=<A, Σ>, а в качестве операции умножения в K_u – операцию конкатенации слов в алфавите A.

Так настроенная ассоциативная система K_u будет моноидом, т.е. будет иметь нейтральный элемент eA^*; элементы K_u представленные буквами алфавита A, будут составлять для K_u систему порождающих элементов, а список соотношений Σ будет представлять собой полную систему соотношений между упомянутыми порождающими элементами K_u в том смысле, что элементы K_u, представленные словами P и Q, тождественны в K_u тогда и только тогда, когда P и Q эквивалентны в U=<A, Σ>. В этом плане, распознавание тождества элементов в K_u сводится распознаванию эквивалентности слов в U=<A, Σ>.

Отсюда понятна важность исследования разрешимости алгоритмической проблемы распознавания эквивалентности слов в произвольном ассоциативном исчислении. Эта проблема состоит в том, что для произвольного U=<A, Σ> требуется построить алгоритм, который для любой пары слов в алфавите A U=<A, Σ> позволял бы за конечное число шагов выяснить, эквивалентны ли в U=<A, Σ> слова, составляющие эту пару. В алгебраической интерпретации эта проблема есть проблема тождества для полугруппы K_u.

Теорема (Маркова-Поста):

“Существует ассоциативное исчисление, в котором проблема распознавания эквивалентности слов алгоритмически неразрешима”

Действительно, рассматривая машину Тьюринга как математическую модель алгоритма, можно свести проблему распознавания эквивалентности слов в U=<A, Σ> к проблеме остановки машины Тьюринга (а эта проблема является алгоритмически неразрешимой).

Приведем и следующие две теоремы:

“Для любого перечислимого множества M существует система подстановок, множество заключительных слов которой совпадает с M”

“В ассоциативном исчислении два слова эквивалентны, если им соответствуют две конфигурации машины Тьюринга такие, что за конечное число тактов машина переходит из первой конфигурации ко второй”

Очевидно, что теорема: “Существует полугруппа заданная определяющими соотношениями, в которой проблема распознавания эквивалентности (равенства) слов алгоритмически неразрешима” является переформулировкой теоремы Маркова-Поста.

Примером ассоциативного исчисления с неразрешимой проблемой равенства является исчисление U=<{a,b,c,d,e},{ac↔ca, ad↔da, bc↔cb, bd↔db, abac↔abace, eca↔ae, edb↔be}>

Замечание:

к проблеме эквивалентности слов в ассоциативном исчислении сводятся многие задачи математики.

Так, любую формулу соответствующего языка математики можно рассматривать как слово в известном алфавите. Процесс эквивалентных преобразований или вывод в таком случае есть преобразование слов с привлечением тех или иных подстановок, в качестве которых выступают аксиомы, тождества, законы.