1. Разрешимость и неразрешимость языков машиной Тьюринга

• Множество слов, для которого МТ однозначно решает задачу принадлежности или не принадлежности данного слова языку, т.е. машина либо переходит в состояние q_z1, соответствующее заключению о принадлежности слова языку, либо в состояние q_z2 – слово не принадлежит языку, называется рекурсивным (разрешимым).

• Множество называется рекурсивно-перечислимым (частично-разрешимым), если МТ останавливается в заключительном состоянии для лексем (слов заданного алфавита) и «зависает» (зацикливается) или останавливается в состоянии q_i q_z (безрезультатная остановка) для непринадлежащих языку слов.

2. Проблема остановки машины Тьюринга

Эта проблема заключается в нахождении алгоритма, который позволял бы по любой машине Тьюринга и любой её конфигурации узнать, остановится или нет машина, начав работу с этой конфигурации.

Теорема.

«Не существует алгоритма распознавания остановки произвольной МТ для произвольной начальной её конфигурации».

Замечание:

Известны два способа доказательства неразрешимости той или иной массовой проблемы: прямой (основанный на так называемом «диагональном» методе) и косвенный (использующий сводимость к данной проблеме другой массовой проблеме, неразрешимость которой была доказана раньше).

Алгоритмическая система а.Чёрча

Все известные примеры алгоритмов можно свести к вопросу вычисления подходящей функции. Считая эту черту алгоритмов основной, можно построить формальное уточнение понятия вычислимой функции. В основе этого утверждения лежит тезис Черча: “Всякая функция, значение которой может вычисляться эффективно, является частично-рекурсивной” (т.е. вычислимыми функциями являются частично-рекурсивные функции – функции, получаемые за конечное число шагов из простейших с помощью суперпозиции, примитивной рекурсии и μ-оператора).

В свете изложенного в алгоритмической системе Черча исходными конструктивными объектами являются базисные функции, , (x₁, x_2,…,x_m,…,x_n)= x_m, конструктивный процесс обусловлен применением к базисным функциям операторов суперпозиции S, примитивной рекурсии R и минимизации μ, а результатом конечного процесса являются рекурсивные функции, т.е.:

Результат

Отметим, что:

• вычислимая функция всегда имеет сопутствующий ей алгоритм S_p;

• невычислимая функция не имеет сопутствующего алгоритма (заранее заданной эффективной процедуры S_f);

• класс всюду определенных вычислимых функций эквивалентен классу рекурсивных функций;

• всякая вычислимая функция вычислима на подходящей машине Тьюринга;

• вопрос о вычислимости функции равносилен вопросу о ее рекурсивности.

1. Базисные функции

Базисные (простейшие элементарные) функции – числовые вычислимые функции , сопутствующие алгоритмы которых – одношаговые (очевидно, что это всюду определенные рекурсивные функции)

1. Нуль-функция Z(x₁, x_2,…,x_k)=0 – k-арная функция (оператор аннулирования Z), соответствующий алгоритм вычисления которой: “Любой совокупности значений аргументов x_i функции Z ставится в соответствие ее значение 0”.

Примеры:

; ;

2. Функция тождества (x₁, x_2,…,x_m,…,x_n)= x_m ( - оператор проектирования) – n-арная функция, алгоритм вычисления которой: “Значением функции принять значение m-го аргумента.” (m, n>0, mn).

Примеры:

(7,6,1,4)= 6, (6)= 6, (7,15)= 15.

3. Функция следования (λ – оператор сдвига) – унарная функция, для которой: “Значением принять натуральное число, следующее за числом, являющимся значением аргумента x”.

Примеры:

; .

Замечание: базисные функции имеют значения только для заданных значений их аргументов.