МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Московский государственный институт электроники и математики

(Технический университет)

Маркин П.М.

Дискретная математика

Теория алгоритмов

Для студентов специальности "Вычислительные машины, комплексы, системы и сети"

2009 учебный год

Содержание:

Общие положения. 2

Аналогично, ImSf есть перечислимое (рекурсивно-перечислимое) множество, т.к. оно является областью значений рекурсивной функции f с областью определения DomSf. Для множества ImSf алгоритм Sf есть порождающий для М1. 4

Предмет и содержание читаемого курса. 5

Исходные понятия теории алгоритмов. 5

Свойства и параметры алгоритма: 6

Основная гипотеза теории алгоритмов. 7

Формальные модели, уточнение понятия алгоритм. 7

Блок-схемы детерминированных алгоритмов. 8

Алгоритмический язык 9

Алгоритмическая система А.Тьюринга. 9

1.Разрешимость и неразрешимость языков машиной Тьюринга 10

2.Проблема остановки машины Тьюринга 10

Алгоритмическая система А.Чёрча 11

a.Базисные функции 11

2.Операторы построения производных рекурсивных функций 12

Примитивно-рекурсивные функции. 14

Алгоритмическая система А.А.Маркова. 15

Ассоциативное исчисление 17

Алгоритмически неразрешимые проблемы. 18

Теоремы алгоритмически разрешимых и неразрешимых проблем. 19

Теоремы Геделя. 19

I.Теорема о неполноте 19

II.Теорема о полноте 19

Словарь основных терминов. 21

Теория алгоритмов. Общие положения.

Теория алгоритмов - раздел математической логики, в котором изучаются теоретические возможности эффективных процедур вычисления (алгоритмов) и их приложения.

Основное понятие этой теории – алгоритм – в интуитивном (наивном) понимании существует в математике довольно давно, а точные математические понятия, которые в том или ином смысле формализуют интуитивное понятие алгоритма, предложены только в середине 30-х годов 20-го века. Необходимость такой формализации была обусловлена как вопросами обоснования математики, так и вопросами доказательства алгоритмической разрешимости и неразрешимости тех или иных задач. Очевидно, что в математике доказываемый объект должен быть точно формализован.

В настоящее время теорию алгоритмов делят на дескриптивную (абстрактную) и метрическую (структурную, прикладную).

Абстрактная теория алгоритмов исследует алгоритмы с точки зрения устанавливаемого ими соответствия между исходными данными и результатами; к ней относятся, в частности, проблемы построения алгоритма, обладающего теми или иными свойствами, - алгоритмические (массовые) проблемы (т.е. нахождение единого метода решения бесконечной серии однотипных единичных задач).

q = <M₁, M₂, S_f>, где M₁ -множество возможных исходных данных, M₂ – множество возможных результатов применения алгоритма S_f к M₁:

М₁

М₂

S_f

DomS_f

(область применимости алгоритмов S_f)

ImS_f

(область значений S_f)

Пример:

f² : N² →N, где f² – операция сложения чисел N. В этом случае M₁ = N² = Domf², M₂ = N

Метрическая теория алгоритмов исследует алгоритмы с точки зрения сложности, как самих алгоритмов, так и задаваемых ими вычислений, т.е. процессов последовательного преобразования конструктивных объектов.

Замечание:

1. Абстрактная теория алгоритмов не учит строить конкретные алгоритмы. Этим занимается прикладная (метрическая) теория алгоритмов.

2. Ниже изучаются сводящиеся друг к другу теоретические модели алгоритмов из 3 классов формальных систем F.S = <L, D>:

• алгоритм рассматривается как исключение формул (рекурсивные функции);

• алгоритм, как гипотетически вычислимое устройство (машины Тьюринга (МТ));

• алгоритм есть конечный набор правил подстановки слов (нормальные алгорифмы)

3. Проблемы построения алгоритма, обладающего теми или иными свойствами. Называется массовой (алгоритмической) проблемой.

Если искомый алгоритм не существует, то говорят, что рассматриваемая массовая проблема неразрешима.

4. В отличие от абстрактной теории алгоритмов прикладная теория рассматривает не только детерминированные, но также вероятностные (стохастические) и эвристические алгоритмы. В последнем случае, кроме детерминированных или статически заданных правил, алгоритм включает также содержательные указания о целесообразном направлении процесса.

5. Любой алгоритм S_f однозначно сопоставляется исходным данным (если DomS_f ≠ Ø) результат. Это означает, что с каждым алгоритмом S_f однозначно связана функция f, которую алгоритм S_f вычисляет. Однако обратное утверждение неверно (т.е. существуют невычислимые функции).

6. Доказательством существования алгоритма S_f вычисления функции f не означает описание этого алгоритма. Так, например, функция

f (x) = 1, если теорема Ферма верна,

0, если теорема не верна,

вычислима, т.к. она равна либо функции, тождественно равной 1, либо функции, тождественно равной 0, а обе эти функции вычислимы.

7. Множество DomS_f есть разрешимое(рекурсивное) множество исходных данных алгоритма S_f , т.к. характеристическая функция

f _DomSf (x) = 1, если x не принадлежит DomS_f,

0, если x принадлежит DomS_f ,

вычислима.

В этом плане говорят о разрешающем алгоритме S_f на множестве исходных данных М₁.

Аналогично, ImS_f есть перечислимое (рекурсивно-перечислимое) множество, т.к. оно является областью значений рекурсивной функции f с областью определения DomS_f. Для множества ImS_f алгоритм S_f есть порождающий для М₁.

Предмет и содержание читаемого курса.

Предмет изучения в читаемом курсе - формальные уточнения интуитивного понятия «алгоритм» с различных точек зрения: арифметизации, нормализации и построения абстрактной машины.

Цель читаемой дисциплины студентам специальности 2201 - усвоение необходимости формулировать алгоритмические проблемы как проблемы решения вопроса о существовании алгоритма для решения данной бесконечной серии однотипных задач и нахождение такого алгоритма в случае, если он существует.

Содержание курса - математические модели алгоритмических систем, формы их записи и оценки сложности алгоритмов. В этом аспекте изучаются:

• рекурсивные функции как математический вариант уточнения понятия вычислимой арифметической функции f: Nⁿ→ N;

• машины Тьюринга как математический эквивалент для общего интуитивного представления об алгоритме;

• системы подстановок слов в заданном алфавите;