§ 2. Основные уравнения математической физики

1⁰. Уравнение колебания струны. Постановка задачи. Струна длиной l натянута с силой и находится в прямолинейном положении равновесия, – непрерывная линейная плотность внешних сил, – непрерывная линейная плотность струны. В момент времени точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны при , если концы струны

а) закреплены жестко;

б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения u;

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.

Решение. Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Пусть струна в плоскости осуществляет поперечные колебания около своего положения равновесия, которое совпадает с осью . Величину отклонения струны от положения равновесия в момент времени обозначим через . Рассматриваются только малые колебания струны. Тогда при постоянной плотности функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Уравнение вынужденных колебаний струны, если , то уравнение (1) принимает вид

,

где – постоянная, – сила начального натяжения струны, – непрерывная линейная плотность внешних сил.

Кроме того, функция удовлетворяет начальным условиям

, , где , – заданные функции.

Приведем краевые условия:

а) Если концы струны жестко закреплены, то , .

б) В случае свободных концов имеют место условия , .

в) , , где функции определяют закон движения концов струны .

Пример 1. Задача о колебаниях мембраны (свободно изгибающейся натянутой пленки), занимающей в положении равновесия некоторую область D в плоскости Oxy, ограниченную замкнутой кривой L. Рассмотреть только малые поперечные колебания мембраны в предположении, что она находится под действием равномерного натяжения T, приложенного к краям мем­браны. Величину смещения точки мембраны от положения равновесия в момент времени обозначим через . Тогда функция удовлетворяет уравнению

Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны в случае однородной мембраны , уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде

, (7)

где , . где – поверхностная плотность мембраны, -- внешняя сила

Если внешняя сила отсутствует, т.е. , то из (7) получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны

.

Как и при рассмотрении колебаний струны, для полного определения движения мембраны нужно задать в начальный момент времени смещение и скорость всех точек мембраны:

, .

Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть при любом . □

Уравнение теплопроводности. Рассмотрим в с декартовой системой координат OXYZ твердое тело V. Пусть температура этого тела в любой точке в момент времени t определяется функцией . Тогда производные характеризуют скорость изменения температуры в момент времени t в направлении осей X, Y и Z соответственно. Тело V предполагается изотропным, т.е. его тепловые свойства не зависят от направления. Известно, что теплота переходит из более нагретых мест в менее нагретые. Обозначим коэффициент теплопроводности тела, а c – его удельную теплоемкость.

Уравнение теплопроводности тела:

. (9)

где .

Уравнение (9) получено в предположении, что внутри тела отсутствуют тепловые источники. Если же плотность тепловых источников (количество поглощенной или выделенной теплоты за единицу времени в единице объема тела) в теле V равна , то уравнение теплопроводности принимает вид

, (10)

где .

Уравнения (9) и (10) получены при условии отсутствия теплового обмена между поверхностью тела и внешней средой.

Для тела V граничные условия определяются на его поверхности. Поскольку вдоль поверхности S тело V граничит с окружающей средой, то в каждой точке S необходимо задать либо температуру u, либо тепловой поток (n – нормаль к S), либо теплообмен (перепад температур) с окружающей средой. Таким образом, граничное условие может быть задано одним из возможных способов:

1) , где – известная функция точек поверхности S и времени t;

2) , где – заданная функция точек поверхности S и времени t;

3) при теплообмене с окружающей средой граничные условия в общем случае имеют вид

где – константы; Ф – заданная функция.

Начальные условия для уравнения теплопроводности запишутся ,

где – заданная функция точек тела V.

3⁰. Уравнение диффузии. Диффузией называется распространение вещества в какой-либо среде, обусловленное неравномерностью в ней его концентрации и происходящее лишь за счет теплового движения молекул.

Уравнение диффузии соли в растворителе.

Уравнение диффузии нейтронов в реакторе.

4⁰. Телеграфные уравнения.