Лекция 6

1

§2. Линейная структура в Rn

1. Rn как векторное пространство.

Норма в Rn

Если в Rn

ввести операции сложения

двух элементов

x = (x1; x2; : : : ; xn),

y

=

(y1; y2; : : : ; yn) и

умножения элемента

x

=

n

x

= v

xi2;

(1)

k k

ui=1

uX

t

Таким образом,

если в

Rn

ввести

норму

по формуле (1), то Rn

станет векторным

нормированным

пространством

над

полем

kx ¡ yk = ½(x; y);

kxk = ½(x; 0);

(2)

где ½(x; y) расстояние

между векторами

x

Определение 2. Скалярным

произведением

в

действительном

векторном пространстве

X

называется

функция

' : X £ X ! R,

(x; y) = x1y1 + : : : + xnyn:

(3)

Число

x12 + : : : + xn2

называет-

(x; x) =

ся длинной (модулем) вектора

x

=

p

q

(x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn и обозначается jxj:

jxj = p

:

(4)

(x; x)

Из (1) и (4)

имеем, что jxj = kxk:

Из (2) следует, что

½(x; y) = kx ¡ yk = jx ¡ yj:

(5)

5

f

: N ! Rn, которая каждому натуральному

числу k ставит в соответствие точку

x(k) =

³x1(k); : : : ; xn(k)´

2 Rn.

Для

записи

последовательности

применяют

обозначения nx(k)o или x

(k)

(k,s)k = 1; 2; : : :

x

o,

образованная

Последовательность

n

(k)

с

из

членов

последовательности

x

сохранением порядка их следования, называется

n

o

подпоследовательностью

последовательности

nx(k)o.

2 R

n

называется

Определение 2. * Точка a

пределом последовательности

x(k)

точек

пространства Rn, если предел

n o

lim

½

x(k); a

´

= 0;

k!1

³

при этом пишут:

lim

x(k) = a:

(1)

k!1

lim

x(k) = a

k!1

´

³

Теорема

1. Последовательность

x(k)

=

x1(k); : : : ; xn(k)

2 Rn, k

= 1; 2; : : : сходится

к точке a = (a

; : : : ; a )

2

R

n тогда

³

´

1

n

и только

тогда, когда

lim

x(k) = a ;

(2)

i = 1; n:

k!1 i

i

Доказательство. Согласно (5)§1 можем записать

¯xi

¡ ai¯

6 ½ ³x ; a´

6

16j6n

¯xj ¡ aj

¯

n

;

¯

(k)

¯

(k)

p

max

¯

(k)

(3)¯

¯

¯

¯

¯

i = 1; n

x(k) = a, то

Необходимость. Если

lim

k!1

8" > 0; 9N 2 N : 8k > N ) ½ ³x(k); a´ < ";

¯

xi(k)

¯

<

",

i

=

1; n. Откуда

следует

¡ ai

¯справедливость¯

(2).

¯

Достаточность.¯

Если имеет место (2), то для

8" > 0; 9N 2 N : 8k > N

¯

¯

)

xi(k)

¡ ai

< "=pn;

i = 1; n; и,

¯

¯

(k)

p

следовательно,¯ ¯

¯

(k¯)

max

¯xj

¡ aj¯ < "= n:

16j6n

(3)¯

³

¯; a

´

Тогда в

силу

½

x

< ",

а это и

Теорема

2. Из

любой

ограниченной

последовательности

nx(k)o

точек

Доказательство. Поскольку последовательность

nx(k)o

ограничена, то

³

´

³

´

³

´

2 6 r;

½ x(k); 0 = r

x1(k)

2 + : : : + xn(k)

а значит

¯

x(k)

¯

6

r, i

Следовательно,

= 1; n

.

i

(k)

¯

¯

x

i

;

i = 1; n

числовые ¯последовательности¯

n

ограничены.

o

Согласно теореме Больцано–Вейерштрасса из

числовой

последовательности

x1(k)

можно

выделить

сходящуюся

подпоследовательность

n

o

o

n

(ks

)

o

n

(ks

)

x1

1

.

Последовательность

x2 1

,

являющаяся

подпоследовательностью

последовательности

nx2(k)o,

ограничена

и из нее можно выделить сходящуюся

подпоследовательность

(ks2)

o

nx2(ks2)o.

Последовательность

x

является

подпоследовательностью

n

1

o

сходящейся

n

(ks

)

последовательности

x1

1

,

а

значит

сходится. Поступая аналогичным

образом,

подпоследовательностей

x(ksn)

,

i

=

i

.

По

теореме

1

nпоследовательностьo

1; n

n

(ks

)

o

(k)

x

n

, являющаяся подпоследовательностью

o

последовательности

x

требовалось доказать.n

сходится,

что

и

Будем рассматривать

также неограниченные

n

n

o (k)

последовательности

x(k)

точек пространства

lim

½

x

; 0

= +

R , для которых

k!1

³(k)

´

1. При

этом пишут, что

klim

x

=

1. Нетрудно

!1

½ x(k); a

убедиться,

что в этом случае lim

=

n

.

k!1

³

´

+1, 8a 2 R

Определение

4. Последовательность

x(k)

называется фундаментальной, если " > 0n;

o

8

9N 2 N : 8l > N; 8m > N ) ½ ³x(l); x(m)´ < ":

Согласно формуле 5)x1 можем записать:

¯

¯

(4)

¯xi(l) ¡ xi(m)¯ 6 ½ ³x(l); x(m)´ 6

¯

¯

p

max

x(l)

¡

x(m)

¯

n

; i = 1; n:

16j6n ¯

j

j

¯

¯

Из

и

неравенств¯

n

(4)

o

¯

следует,

что

фундаментальна

последовательность

x(k)

тогда

только

тогда,

когда

фундаментальны

последовательности

nxi(k)o,

=

. Тогда

i

1; n