4. Контрольные вопросы

4.1. Какие виды деформаций называются: а) чистым изгибом; б) поперечным изгибом. Привести примеры.

4.2. Как определить нормальные напряжения при чистом изгибе.

4.3. Как распределяются нормальные напряжения по площади поперечного сечения стержня при чистом изгибе.

4.4. В каких точках поперечного сечения стержня нормальные напряжения при чистом изгибе принимают экстремальные значения?

4.5. Что называется нейтральным слоем?

4.6. Дайте определение осевого момента инерции сечения стержня.

4.7. Как в лабораторной работе экспериментально определяются нормальные напряжения?

4.8. Объясните принцип работы тензорезисторов.

5. Рекомендуемая литература

5.1. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-560 с.

5.2. Алтури С., Кобаяси А. и др. Экспериментальная механика: В 2-х книгах: Книга 1. Пер. с англ./Под ред. А. Кобаяси.-М.: Мир, 1990.-616 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

Тема работы: Определение критической угловой скорости вала

Цель работы:

- теоретически и экспериментально определить критическую угловую скорость вала и выявить влияние параметров системы на ее величину.

1. Необходимые теоретические сведения

Валом называется деталь, предназначенная для передачи крутящего момента вдоль своей оси и для поддержания вращающихся деталей машин. В данной лабораторной работе на вал насажен диск, масса которого во много раз больше массы вала : , поэтому масса вала в дальнейшем принимается равной нулю. Подшипниковые опоры вала моделируются в виде шарнирных опор, одна из которых условно подвижна, а другая – неподвижна. Такая модель позволяет составить расчетную схему, в которой вал представляется как статически определимая система (рисунок 1а).

Неизбежные случайные погрешности изготовления и монтажа вала и диска, насаженного на него, приводят к смещению центра тяжести системы относительно оси вращения на некоторую величину , называемую эксцентриситетом. Поэтому, при вращении на вал будет действовать центробежная сила инерции , приводящая к деформации изгиба, при которой прогиб вала в месте расположения диска будет равен некоторой величине (рисунок 1б).

а) б)

Рисунок 1 – Расчетные схемы вращающегося вала с неуравновешенным диском

Направление центробежной силы при вращении вала постоянно будет изменяться, вследствие чего целесообразно рассматривать ее в виде проекций на оси координат:

(1)

где x,y – координаты геометрического центра поперечного сечения вала в месте расположения диска; - угловая скорость вала; t – время.

Предположим, что восстанавливающая сила упругости вала линейно зависит от величины прогиба f, а коэффициент жесткости вала при действии поперечных сил равен с. Тогда, проекции силы упругости могут быть представлены следующим образом:

(2)

Из условий динамического равновесия (пренебрегая силой тяжести диска) после дифференцирования (1), получим:

(3)

где - собственная частота колебаний системы. При нулевых начальных условиях (; , ) решения уравнений (3) имеют вид:

(4)

Полученные решения представляют собой разности двух гармонических колебаний с частотами и . В действительности такие процессы наблюдаются только в самом начале движения, т.к. не учтенные при составлении (3) силы трения, вызывают постепенное затухание колебаний с собственной частотой . Поэтому на практике при установившемся движении системы можно принять:

(5)

В этом случае прогиб вала в месте расположения диска не зависит от времени и равен:

. (6)

Из (6) следует, что даже при малых величинах эксцентриситета в случае, когда прогиб вала может быть большим, а при достигает бесконечно большого значения. График функции представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 - График функции

Кривая слева и справа асимптотически приближается к прямой а при к прямой , что приводит к «самоцентрированию» диска, т.е. к перемещению его центра тяжести к геометрической оси вала в недеформированном состоянии. Угловая скорость вала, при которой теоретическое значение прогиба в месте расположения диска стремится к бесконечности, называется критической угловой скоростью. Ее величина зависит только от параметров механической системы, таких как коэффициент жесткости вала и масса диска .

Коэффициент жесткости вала может быть определен экспериментально и теоретически, но в обеих случаях он определяется при малых деформациях и малых перемещениях геометрической оси вала. Воспользуемся для этого уравнением метода начальных параметров:

, (7)

где - прогиб и угол поворота сечения вала в начале координат; , - сосредоточенные моменты, силы и интенсивности постоянных по величине распределенных на участках вала нагрузок, а также координаты сечений вала, в которых они прикладываются, соответственно (i=1,…,n; j=1,..,m; k=1,..,r); - координата сечения вала, для которого определяется величина прогиба ; - изгибная жесткость вала. В соответствии с расчетной схемой, представленной на рисунке 1а, исходя из того, что прогибы сечений вала на опорах равны нулю, для сечения, совпадающего с правой опорой, при одном из произвольных направлений действия силы инерции , получим:

, (8)

где - реакция опоры А, совпадающей с началом координат. Из условия равновесия вала (9). Таким образом, после подстановки (9) в (8), получим угол поворота сечения вала в начале координат:

. (10)

Теперь для сечения с координатой (в месте расположения диска) получим:

. (11)

Знак “-“ в формуле (11) свидетельствует, что направление прогиба вала противоположно выбранному в расчетной схеме положительному направлению соответствующей оси системы координат.

Коэффициент жесткости вала определим из условия: . Таким образом:

. (12)

Значение критической угловой скорости вала равно:

. (13)

Обозначив и учтя, что осевой момент инерции вала диаметром равен , перепишем формулу (13) в следующем виде:

, (14)

где - модуль упругости материала вала первого рода.