2. Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки для определения собственной частоты крутильных колебаний стержня представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Схема лабораторной установки

Круглый стержень, имеющий длину , диаметр поперечного сечения , жестко защемлен в точке и свободно поворачивается относительно подшипниковых опор . На свободном конце стержня установлены два груза призматической формы 1 и 2, имеющие массы одинаковые массы . Центры тяжести грузов расположены относительно оси на одинаковых расстояниях . Закрутив стержень, повернув грузы относительно его продольной оси на некоторый малый угол и отпустив их, получим его крутильные колебания.

Собственные частоты крутильных колебаний стержня определяются из граничных условий задачи.

1. Нижний конец стержня () жестко защемлен: . Таким образом, одно из граничных условий имеет вид

. (9)

2. На свободном конце стержня () находятся грузы, момент инерции которых относительно продольной оси стержня равен .

Развиваемый грузами момент сил инерции учитывая первое из уравнений (5) представим в следующем виде

. (10)

Этот момент уравновешивается внутренним крутящим моментом

. (11)

Приравняв правые части (10) и (11) получим второе граничное условие рассматриваемой задачи

. (12)

Из решения (7) с учетом граничного условия (9) следует, что .Тогда, используя второе граничное условие (12) получим трансцендентное частотное уравнение

. (13)

Уравнение (13) имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть получено с требуемой точностью различными численными методами.

3. Пример определения собственной частоты крутильных колебаний стержня

В качестве примера определим третью собственную частоту крутильных колебаний стержня со следующими параметрами:

.

Для решения задачи воспользуемся математической системой Maple V. Ниже приводится фрагмент программы с некоторыми пояснениями.

> restart;

[Левая часть частотного уравнения

> eq1:=(p*l/a)*tan(p*l/a);

[Правая часть частотного уравнения

> eq2:=Jp*rho*l/(2*m*l1^2);

[Исходные данные

> l:=2.5:l1:=0.5:m:=1:d:=0.03:G:=0.7*10^11:rho:=7800:

> Jp:=Pi*d^4/32:a:=sqrt(G/rho):

[Частотное уравнение после подстановки исходных данных

> eq:=eq1-eq2;

[График функции

> plot(eq,p=0..20000,y=-10..10,color=blue);

[Анализ графика позволяет утверждать, что третий корень частотного уравнения принадлежит отрезку . Таким образом, его значение равно:

> pn[3]:=fsolve(eq,p=6000..8000);

Полученное значение определяет одну из угловых собственных частот крутильных колебаний стержня⁵. Собственная частота колебаний⁶ и период собственных колебаний⁷ определяется по формулам:

; . (14)