9.4 Обработка результатов измерений

1. Определить средние значения величин l₁, l₂, t₁, t₂ и занести их в табл. 9.1.

2. Определить абсолютные погрешности величин как погрешности прямых измерений и их средние значения. Если расстояния l₁ и l₂ измеряются один раз, погрешности их измерений равны погрешности измерительного прибора. Результаты занести в табл.9.1.

3. Определить периоды колебаний маятника: и .

4. Определить ускорения свободного падения по формуле (9.20).

87

4. Вычислить погрешности определения периода колебаний:

и .

6. Вычислить относительную погрешность для ускорения свободного падения:

.

Если значение  взято из вычислительной машины или калькулятора, то =0.

6. Вычислить абсолютную погрешность определения ускорения свободного падения:

g = ·g.

6. Записать результат в стандартной форме, воспользовавшись правилами работы с приближенными числами.

9.5 Контрольные вопросы

1. Как читается закон всемирного тяготения?

2. Какие процессы называются колебательными и какие колебания называют гармоническими? Какие колебания называются свободными, а какие вынужденными?

3. Какими величинами можно характеризовать систему, которая совершает гармонические колебания? Что такое амплитуда, период, фаза (начальная фаза) колебаний?

4. По каким законам изменяются смещения, скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания?

5. Какой вид имеют формулы для определения кинетической, потенциальной и полной энергии материальной точки?

6. Какой вид имеет дифференциальное уравнение гармонических колебаний?

7. Выведите дифференциальное уравнение малых колебаний физического и математического маятников. От чего зависят период и частота колебаний этих маятников?

8. В чем суть метода определения ускорения свободного падения g с помощью оборотного маятника? Вывести расчетную формулу.

9. Сформулируйте теорему Штейнера. Где и как она использована в данной работе?

88

10 Лабораторная работа № 53. Изучение резонанса напряжений в колебательнеом контуре

Цель работы - познакомиться с теорией свободных и вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре, построить резонансные кривые, определить резонансную частоту, индуктивность, добротность, омическое и волновое сопротивления контура.

10.1 Краткие теоретические сведения.

Простейший или идеальный колебательный контур состоит из конденсатора электроемкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивностью L (рис. 10.1). Сопротивление R идеального контура считается равным нулю. При включении в контур заряженного конденсатора он начинает разряжаться через катушку. При этом явление самоиндукции в катушке не позволяет току мгновенно достигнуть максимального значения. Увеличиваясь постепенно, ток достигает максимального значения в момент полной разрядки конденсатора. В дальнейшем ЭДС самоиндукции поддерживает существования тока до полной перезарядки конденсатора, после чего снова начинается процесс разрядки. Величина заряда на обкладках конденсатора и сила тока в катушке изменяются по законам гармонических колебаний где q_o –амплитуда заряда конденсатора, I_o=w_оq_o – амплитуда силы тока, f_о –начальная фаза колебаний заряда конденсатора. Циклическая частота и период свободных колебаний в колебательном контуре удовлетворяют формуле Томсона

(10.1)

Разность потенциалов обкладок конденсатора U также изменяется по гармоническому закону где U_o=q_o/C –

89

амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока

(10.2)

Величина называется волновым сопротивлением колебательного контура.

При гармонических колебаниях в идеальном колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратное превращение, но суммарная энергия не изменяется. В реальном контуре, имеющем сопротивление R, энергия расходуется на выделение тепла в проводниках, свободные колебания в нем будут затухающими. Затухающие колебания заряда на пластинах конденсатора описываются формулой , где e – основание натуральных логарифмов, q_o и f_о – постоянные величины, которые зависят от начальных условий, w_о называется собственной частотой контура и определяется формулой (10.1), b – коэффициент затухания, для колебательного контура

. (10.3)

Затухающие колебания не являются периодическими. Но при выполнении условия для них может быть введен условный период

(10.4)

Характеристиками реального колебательного контура являются также время релаксации t, логарифмический декремент затухания d и добротность контура Q. t – промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

(10.5)

d – натуральный логарифм отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T.

(10.6)

90

где N – число колебаний, в течении которых амплитуда уменьшается в e раз. Q есть произведение 2p и отношения энергии колебаний в момент времени t к изменению энергии за условный период колебаний Т, отсчитанный от момента t.

. (10.7)

При малых значениях d добротность колебательного контура

(10.8)

Вынужденными называются колебания, которые совершаются при действии на колебательную систему внешней, периодически изменяющейся силы. Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре в него нужно включить источник электрической энергии, э.д.с. которого периодически изменяется с течением времени (рис. 10.2). Если вынуждающая э.д.с. изменяется по гармоническому закону то при установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора колеблется с той же циклической частотой w:

При этом амплитуда колебаний q_о и начальная фаза f_о зависят от частоты колебаний вынуждающей э.д.с. в соответствии с формулами

(10.9)

(10.10)

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре

(10.11)

где начальная фаза –f=(f_о+p/2). Для амплитудного значения силы тока I_o и начальной фазы можно записать соотношения

91

(10.12)

На рисунке 10.3 приведен типичный график зависимости амплитуды колебаний силы тока от частоты. Для него характерно наличие максимума при значении ω=ω_о. Явление достижения амплитудой при некоторой частоте максимума называется резонансом, соответствующее значение частоты называется резонансным, а график на рис 10.3 называется резонансной кривой. Следует отметить, что резонансная частота для колебаний силы тока равна собственной частоте контура. На рис. 10.3 показано, как определяется ширина резонансного максимума Δw=w₂-w₁.

В колебательном контуре происходят не только колебания силы тока по гармоническому закону (10.11), но также колебания разности потенциала на всех элементах контура – емкости, индуктивности и активном сопротивлении

Колебания u_R происходят в одной фазе с колебаниями силы тока в цепи, u_L опережает ток по фазе на p/2, а u_C отстает по фазе на p/2. Сумма этих величин должна равняться вынуждающей э.д.с.

При этом суммирование величин, совершающих гармонические колебания с различными начальными фазами, производится по законам векторного сложения. В соответствующей векторной

92

диаграмме вектора u_C и u_L имеют противоположное направление, а вектор u_R направлен по отношению к ним под углом 90°. Амплитудные значения колебаний разности потенциала

где x_C=1/wC – емкостное сопротивление цепи, x_L=wL – индуктивное сопротивление цепи. Величина

называется реактивным сопротивлением цепи, R называется активным сопротивлением цепи, а

- ее полным сопротивлением. Формулы (10.12) для амплитуды синусоидального тока в цепи и его начальной фазы с использованием введенных обозначений можно переписать в виде

Очевидно, что при совпадении частоты колебаний вынуждающей э.д.с. w с собственной частотой контура w_о, определяемой формулой (10.1) активное сопротивление контура становится равным нулю, а полное сопротивление приобретает минимальное свое значение, равное активному сопротивлению. Таким образом, максимальное значение силы тока при резонансе в контуре

(10.13)

Это соотношение выполняется не только для амплитудных, но также для действующих значений силы тока и вынуждающей э.д.с. Значения же разностей потенциала на индуктивности и емкости становятся равными

Этот факт можно использовать для определения величины w_о с максимальной точностью. Она будет соответствовать пересечению резонансных кривых для величин u_C и u_L.

93