3. Число елементів скінченного поля

Поля грають важливу роль в теорії скінченних полів, оскільки кожне поле характеристики повинно містити ізоморфне підполе і тому може розглядатися як розширення поля .

Розглянемо питання про число елементів скінченного поля.

Лема 1. Нехай – скінченне поле, що містить підполе з елементів. Тоді складається з елементів, де – степінь поля над , тобто розмірність векторного простору над полем .

Теорема. Нехай – скінченне поле. Тоді воно складається з елементів, де просте число, що є характеристикою поля , а – натуральне число, що є степенем поля над його простим підполем.

Доведення. Оскільки поле скінченне, то його характеристика є деяке просте число . Тому просте підполе поля ізоморфне і, значить, містить елементів і, отже, згідно лемі 1, поле містить елементів. □

Лема 2. Якщо – скінченне поле з елементів, то кожний елемент задовольняє рівності .

Означення. Поле називається полем розкладання многочлена над полем , якщо і над полем многочлен розкладається на лінійні множники.

Лема 3. Якщо – скінченне поле з елементів і – підполе поля , то многочлен з кільця цілком розкладається в наступним чином:

, ,

отже є полем розкладання многочлена над полем .

На основі представлених лем можна сформулювати головну характеризаційну теорему скінченних полів.

Теорема (про існування і єдиність скінченних полів). Для кожного простого числа і кожного натурального числа існує скінченне поле з елементів. Будь-яке скінченне поле з елементів ізоморфне полю розкладання многочлена над полем .

Ця теорема дозволяє ввести в розгляд, тобто побудувати конкретне скінченне поле Галуа порядку , що містить елементів, де – це степінь простого числа , яке є характеристикою цього поля. Поля цього типу позначають або .

Приклад 6. Елементами поля Галуа є двійкові послідовності довжиною бітів.

Позначимо через мультиплікативну групу ненульових елементів. скінченного поля . Наступна теорема встановлює важливу властивість такої групи.

Теорема. Мультиплікативна група поля циклічна.

Означення. Твірний елемент циклічної групи називається примітивним елементом поля .

4. Примітивні елементи скінченного поля

Примітивним елементом поля називається такий елемент , що всі ненульові елементи поля можна зобразити у вигляді степеня елемента .

Приклад 7. 1) Всі ненульові елементи поля зображені у вигляді степенів елемента .

2) Примітивним елементом скінченного поля є 2, тому що

, , , .

Примітивні елементи скінченного поля за простим розглядалися раніше в теорії чисел під назвою первісних коренів за модулем .

Означення. Порядком елемента скінченного поля називається найменше натуральне число з умовою . Позначається .

Якщо – елемент порядку мультиплікативної групи поля , то

1. ;

2. є дільником числа ;

3. або .

Зауваження. Якщо – просте число, то елемент поля можна розглядати як клас лишків кільця цілих чисел за простим модулем , представником якого є елемент . Тоді умова рівносильна умові , через що порядок будь-якого елемента мультиплікативної групи поля дорівнює показнику, якому належить ціле число за простим модулем .

Приклад 8. Визначити порядки елементів скінченого поля .

Розв’язання. Порядок елемента поля є дільником числа , тобто прядки елементів містяться серед чисел 1,2,3,6.

Для елемента 2:

, , ,

отже .

Для елемента 3:

, , ,

, ,

отже .

Для елемента 4:

, , ,

отже .

Для елемента 5:

, , ,

, ,

отже .

Для елемента 6:

, ,

отже .

Для будь-якого ненульового елемента порядку з поля виконуються наступні твердження:

1. Якщо , то , .

2. Елементи поля всі різні.

3. Елементи поля являють собою всі корені многочлена .

4. Порядок елемента , , дорівнює ( – НСД чисел і ). Зокрема, якщо , то .

5. Число всіх елементів поля , порядок яких збігається з порядком елемента , дорівнює значенню функції Ейлера .

Важливі властивості мультиплікативної групи поля сформулюємо у вигляді наступних теорем.

Теорема. Якщо – ненульові елементи поля , то

.

Доведення. Нехай – довільний елемент мультиплікативної групи поля , – порядок цього елемента. Тоді за теоремою Лагранжа (Порядок скінченої групи ділиться на порядок кожної своєї підгрупи) ділить число , тобто . Отже, і дійсно є коренем многочлена .□

Теорема (про мультиплікативну групу поля ). Мультиплікативна група ненульових елементів поля є циклічною.

Доведення. Розглянемо випадок . Порядок групи дорівнює . Якщо число розкладено на прості множники , то для кожного , у полі многочлен має не більше коренів. А оскільки , то у полі існують ненульові елементи, які не є коренями цього многочлена. Нехай – саме такий елемент поля. Покладемо . В такому разі , а тому порядок елемента є дільником числа і через це має вигляд , де . З іншого боку і порядок елемента дорівнює .

Покажемо тепер, що елемент має порядок . Припустимо супротивне. Нехай додатково порядок елемента – власний дільник числа , а значить, і дільник принаймні одного з цілих чисел ,. Тоді

.

Тепер, якщо , то ділить число . Звідси , тобто порядок елемента повинен ділити число , що неможливо, оскільки він дорівнює .

Отже, – циклічна група з твірним елементом .□

Теорема (про примітивний елемент поля ). В кожному полі Галуа існує примітивний елемент.

Доведення. Оскільки всі ненульові елементи поля Галуа утворюють циклічну групу , то серед них існує елемент порядку , який є примітивним. □

З останньої теореми випливає, що примітивним елементом поля є твірний елемент циклічної групи .