1. Скінченні поля на базі кілець класів лишків за даним простим модулем

Вище як приклад скінченного поля розглядалося кільце класів лишків цілих чисел за модулем простого числа .

Арифметика над скінченними полями широко застосовується в криптографії і є основою багатьох криптосистем. Елементами таких полів є тільки скінченні числа, при операціях над якими відсутні похибки заокруглення.

Покажемо, як перенести структуру поля з на множину без алгебраїчної структури.

Для простого числа позначимо через множину . Визначимо відображення , де ( – класи лишків за модулем ). Тоді множина із структурою поля, індукованою відображенням , також утворює скінченне поле, яке називається полем Галуа порядку за ім’ям їх першого дослідника Еваріста Галуа. Таке поле ще позначають ( – Galois Field – поле Галуа).

Відображення є ізоморфізмом, оскільки зберігає операції:

. Нулем скінченного поля буде нуль 0, а одиницею – одиниця 1 і його структура співпадає із структурою поля .

При обчисленнях з елементами поля використовується арифметика цілих чисел із зведенням за модулем .

Приклад 3. Найпростішим і найважливішим у застосуваннях є поле другого порядку з елементами , для яких виконуються операції + і , визначені таблицями Келі:

	0	1
0	0	0
1	0	1

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Приклад 4. В полі Галуа , яке ізоморфне скінченному полю лишків цілих чисел за модулем 7, типові арифметичні операції виглядають так:

,

,

,

.

2. Характеристика поля

Скінченні поля : , , , …, посіли серед скінченних полів місце, яке можна зіставити з місцем, яке відведене полю раціональних чисел .

Означення. Поле, яке не має ніякого власного підполя, називається простим.

Теорема. Кожне поле містить одне і тільки одне просте поле , яке ізоморфне або полю , або полю для деякого простого .

Доведення. Припустимо, що поле містить два різних простих підполя . Тоді за теоремою про переріз підполів буде полем (очевидно, непорожнім, оскільки 0 і 1 містяться як в , так і в ), відмінним від і . А це неможливо зважаючи на їх простоту. Отже, просте підполе єдине. □

Означення. Кажуть, що поле має характеристику нуль, якщо його просте підполе ізоморфне полю . Кажуть, що поле простої (або скінченної) характеристики , якщо його просте підполе ізоморфне полю . Відповідно пишуть або .

В полі характеристики нуль всі елементи, кратні одиниці поля, нерівні між собою, тобто при . В полі скінченної характеристики існують такі цілі числа , , що (або ). Інакше: якщо одиниця поля є елементом нескінченного порядку в адитивній групі поля, то це поле має характеристику нуль, а якщо одиниця поля – елемент скінченного порядку – характеристика в дорівнює порядку одиниці поля в адитивній групі поля.

Так, числові поля раціональних, дійсних та комплексних чисел мають характеристику нуль, а будь-яке кільце класів лишків цілих чисел за простим модулем – це поле характеристики .

Приклад 5. Поле Галуа має , тому що рівність у цьому полі виконується при найменшому додатному значенні (тобто ).

Теорема 1. В полі скінченної характеристики , для будь-якого елемента справджується рівність . В полі характеристики нуль для цілого числа з випливає .

Доведення. Згідно з означенням характеристики поля, в першому випадку . А в другому випадку, якби було справедливим твердження , то це означало б, що при справджується рівність . Через нульову характеристику поля звідси виходить , що суперечить умові теореми. □

Теорема 2. Якщо – підполе поля , то .

Справедливість теореми випливає з того, що одиниця поля є одиницею свого підполя.

Теорема 3. Якщо , то – просте число.

Наслідок. Характеристика скінченного поля – просте число.

Теорема 4. Будь-яке скінченне поле характеристики містить просте підполе з елементів і є скінченним розширенням цього підполя.

Теорема 5. Нехай – скінченне поле характеристики Тоді для довільних елементів , цього поля і для довільного справджуються рівності

;

().