2.3.2. Методы конечных разностей для численного решение дифференциальных уравнений с частными производными

Решение дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП) в аналитическом виде удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными численные (приближенные) методы решения этих уравнений. Далее будем рассматривать только линейные ДУЧП.

Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения линейных ДУЧП является метод сеток или метод конечных разностей, поэтому основной упор сделан на пояснение и описание этого метода.

В общем случае ДУЧП для функции u двух аргументов имеет вид:

, (28)

где x, у – независимые переменные, u(x,y) – искомая функция, u_x , u_y , u_xx , u_xy , u_yy – её первые и вторые частные производные по аргументам x и y.

Решением уравнения (28) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (интегральная поверхность).

Уравнение (28) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравнение может быть записано в виде

, (29)

причем коэффициенты А, В, С, а, b, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (29) будет линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное дифференциальное уравнения (29).

Пусть D=АС-В2 – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (29) относится в заданной области к одному из следующих типов:

D > 0 – эллиптический тип;

D = 0 – параболический тип;

D < 0 – гиперболический тип;

D не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Тип линейного уравнения (2) является его важной особенностью и сохраняется при любом невырожденном преобразовании

Температура и=и(х, у) точки (х, у) пластинки при стационарном распределении (т. е. при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению Лапласа.

. (30)

Здесь А=1, В=0, С=1 и D=AС–В2 > 0, т. е. уравнение (30) эллиптического типа.

Температура и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каждого момента времени t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности

, (31)

где а – постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) – функция, связанная с плотностью источников распределения тепла. Если в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение теплопроводности имеет вид

. (32)

Очевидно, что уравнения теплопроводности (31) и (32) – параболического типа.

Функция и=и(х, t) с абсциссой х для каждого момента времени t удовлетворяет уравнениям

или (33)

Эти уравнения (33) относятся к гиперболическому типу .

ДУЧП имеет в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса нужно к уравнению присоединить какие-то дополнительные условия. Эти дополнительные данные в простейшем случае состоят из начальных и краевых (граничных) условий. В сущности, различить эти условия можно лишь в том случае, если одна из независимых переменных дифференциального уравнения играет роль времени, а другая — пространственной координаты (для случая двух независимых переменных). При этом условия, относящиеся к начальному моменту времени, называются начальными, а условия, относящиеся к фиксированным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемого линейного континуума) – краевыми.

Пусть имеется теплоизолированный (кроме, может быть, концов) однородный нагретый стержень 0 ≤ x ≤ l , где l - длина стержня. Температура стержня u=u(х,t) в точке х (0<х</) для любого момента времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности

(34)

где а – постоянная.

В начальный момент t=t_o для внутренних точек стержня обычно задается начальное распределение температуры. Это приводит к начальному условию

. (35)

При 0<х<l, где f(x) – известная функция. Условие (35) не обеспечивает однозначности решения дифференциального уравнения (34), так как физически ясно, что распределение температуры u(х,t) в стержне для последующих моментов времени t>t_o существенно зависит от того, в каком состоянии находятся концы стержня x=0 и х=l (есть ли там утечка тепла, каков тепловой режим и т. п.).

В зависимости от состояния конца x=0 имеем следующие, основные краевые условия.

1. Конец стержня х=0 поддерживается при заданной температуре

, (36)

где φ(t) – известная функция. В частности, если эта температура равна нулю, то краевое условие будет u(0, t )=0.

2. Конец стержня х=0 теплоизолирован, т. е. утечка тепла в окружающую среду отсутствует:

. (37)

3. На конце стержня х=0 происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой меняется по заданному закону

, (38)

где α – постоянная и φ(t) – известная функция. В частности, если температура внешней среды равна нулю, то получим

. (39)

Смешанное краевое условие (38) в некотором смысле можно считать общим, а именно, полагая α=0, получим краевое условие (36), а при α =∞ будем иметь краевое условие (37). Возможны и другие типы краевых условии. Аналогичные краевые условия могут быть также для конца х=l. Комбинируя краевые условия для концов х=0 и х=l, будем иметь краевые задачи для стержня, которые при наличии начального условия (35), вообще говоря, имеют единственные решения.