2.2. Подходы к решению микромоделей
Выделяют два основных подхода при решении микромоделей:
-
аналитическое (точное) решение – курс высшей математики;
-
численное (приближенное) решение с погрешностью.
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе метода сеток.
Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.
Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.
В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов, которые одновременно выражают принципы численного подхода.
Этап 1. Построение сетки в заданной области позволяет перейти от непрерывного пространства к дискретному (дискретизация задачи).
Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений вместо исходных дифференциальных (алгебраизация задачи).
Этап 3. Постепенное приближение к искомому решению (решение с погрешностью), например путем применения итерационных методов при решении полученной системы алгебраических уравнений.
Наиболее часто в составе САПР используются два метода сеток: 1) метод конечных разностей (МКР); 2) метод конечных элементов (МКЭ).
2.3. Метод конечных разностей (мкр)
Основная идея МКР – аппроксимация дифференциального уравнения, т.е. замена его разностным алгебраическим уравнением.
Пусть
дано дифференциальное уравнение для
стационарной (
)
задачи, где
– фазовая функция одного аргумента,
например координаты х
,
,
R
– непрерывная ограниченная область
изменения независимых переменных
(координата х),
тождественная отрезку [a,b],
а также начальное условие
.
Необходимо найти
на всем отрезке [a,b]
(т.е. дана задача Коши).
Тогда МКР включает в себя следующие этапы:
1.
Замена исходной непрерывной области R
дискретным аналогом – совокупностью
узлов сетки
i=1,N.
2.
Замена искомой непрерывной функции
на ее дискретный аналог
.
3. Замена дифференциального оператора разностным алгебраическим:
.
4. Замена исходного дифференциального уравнения разностным алгебраическим:
.
Тогда, получив из него выражение для i+1-го узла, можно записать систему уравнений для N узлов и получить решение ДУ в виде таблицы:
,
i=1,N.
(12)
Существуют различные разностные операторы:
,
,
в общем виде
,
например для δ=0.5 получаем
.
Для
двухмерного случая
используют шаблоны – крест или квадрат.
Например, для шаблона крест можно
записать
,
.
Применительно к функции одного аргумента в общем случае конечно-разностные схемы при вычислении функции в очередном i+1-м узле используют ее разложение в ряд Тейлора в окрестности хo:
.
(13)
При малой величине h слагаемыми высших порядков можно пренебречь. В зависимости от числа последних можно выделить: метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, семейство методов Рунге–Кутты, в том числе с автоматическим изменением шага и др.