- •Список позначень фізичних величин
- •Передмова
- •Частина 1 загальні властивості електромагнітного поля
- •1 Основні параметри середовищ. Вектори електромагнітного поля
- •1.3 Приклади розв'язання задач
- •1.4 Індивідуальне завдання 1
- •1.5 Запитання та завдання до захисту індивідуального завдання 1
- •2 Потужність і енергія електромагнітного поля
- •2.3 Приклади розв'язання задач
- •2.4 Індивідуальне завдання 2
- •2.5 Запитання та завдання до захисту індивідуального завдання 2
- •3 Електромагнітні хвилі в необмеженому просторі
- •3.3 Приклади розв'язання задач
- •3.4 Індивідуальне завдання 3
- •3.5 Завдання до захисту індивідуального завдання 3
2.5 Запитання та завдання до захисту індивідуального завдання 2
1. Пояснити методику знаходження повної енергії за № 2.1.
2. Як зміниться результат розрахунку в задачі № 2.2, якщо: а) зменшити вдвічі амплітуду; б) збільшити діелектричну проникність середовища; в) змінити розмір об'єму?
3. За № 2.3 пояснити невиконання принципу суперпозиції відносно енергії електромагнітного поля. Чому дорівнює взаємна енергія двох коливань ?
4. Дати фізичну трактовку вектора Пойнтинга за № 2.4.
5. Навіщо потрібні і чим відрізняються три записи вектора Пойнтинга в № 2.5?
6. Чому два результати за № 2.6 відрізняються між собою? Що вони означають?
7. Які втрати розраховані в № 2.7? Від чого залежить потужність втрат?
8. Назвіть значення добротності в № 2.7 зі збільшенням параметрів , в однакове число разів.
9. Назвіть рівняння, використане під час розв'язання задачі № 2.8.
10. Зобразити графіки залежності складових електромагнітного поля за № 2.9 для запропонованого варіанта резонансу.
3 Електромагнітні хвилі в необмеженому просторі
3.1 Стислі теоретичні відомості
Методика розв'язання хвильових рівнянь. Для випадку монохроматичного поля в необмеженому просторі хвильові рівняння (1.14) розв'язують з урахуванням початкових умов на початку вибраної системи координат. На початку координат приймають E = E0cos(t–0). У постановку задачі включають характеристики лінійного однорідного ізотропного немагнітного середовища: комплексну діелектричну проникність (1.12) при питомій провідністі 0 , магнітну проникність а = 0. Комплексні коефіцієнти (1.15) подають у вигляді
. (3.1)
Математичне розв'язання однорідних рівнянь (1.14) записується з точністю до сталих коефіцієнтів. Значення цих коефіцієнтів знаходять, прирівнюючи математичне розв'язання на початку координат значенню E = E0cos(t–0), а також виключаючи із розгляду варіанти розв'язань, що суперечать фізиці досліджуваних процесів. Для простоти приймають 0 = 0.
Електромагнітні хвилі в лінійному однорідному ізотропному немагнітному середовищі. Введемо правогвинтову прямокутну систему координат і на початку координат орієнтуємо вісь x уздовж вектора електричного поля. Розв'язання хвильових рівнянь (1.14) мають вигляд
В / м, (3.2)
А / м, . (3.3)
Переходячи до реально існуючого поля, отримаємо
(3.4)
(3.5)
Виконаємо аналіз даного розв'язку, з'ясовуючи фізичні особливості і вводячи використовувані в електродинаміці терміни і визначення.
1. Співвідношення (3.2) – (3.5) описують хвилю, яка поширюється в конкретному напрямку (+z) без відбиття. Таку хвилю називають біжучою. Повне розв'язання хвильових рівнянь описує стоячу хвилю, утворену суперпозицією прямої хвилі, що поширюється в прямому напрямку (+z) і зворотної хвилі, що поширюється в зворотному напрямку (–z). Для зворотної хвилі в (3.2) – (3.5) необхідно змінити –z на +z.
2. За (2.7), (2.11) знаходимо середнє значення вектора Пойнтинга
. (3.6)
Енергія поширюється й експоненціально загасає в напрямку поздовжньої осі +z. При цьому густина потоку потужності залежить від кута втрат і зменшується зі збільшенням .
3. Комплексні амплітуди не залежать від поперечних координат x, y. Хвилю, у якої амплітуди не є функціями поперечних координат, називають однорідною. У неоднорідної хвилі амплітуди залежать від поперечних координат.
4. Вектори лежать у площині, перпендикулярній напрямку поширення хвилі. Таку хвилю називають поперечною. У поперечної хвилі вектори взаємоперпендикулярні: 2).
5. Амплітуди електричного і магнітного полей зменшуються в напрямку поширення хвилі за експоненціальним заком , де , раз/м = неп/м коефіцієнт загасання. Часто коефіцієнт загасання виражають в децибелах дБ = 8,68. Величину, обернену коефіцієнту загасання
м , (3.7)
називають глибиною проникнення електромагнітного поля в середовище або глибиною скін-шару. Параметр показує, на якій відстані електромагнітне поле ослаблюється в даному середовищі в e разів.
6. Фазові характеристики електромагнітної хвилі: (t–) фаза, (t–z) фаза електричного поля, фаза магнітного поля; фазові множники хвилі, яка поширюється в напрямку +z; t зсув фази в часі, z зсув фази у просторі, /2 зсув фази, обумовлений втратами; е = z зсув фази електричного поля, м = z + /2 зсув фази магнітного поля. Принципово, що в середовищі з втратами зсув фази магнітного поля відносно електричного поля дорівнює /2.
Важливим параметром є коефіцієнт фази
(3.8)
де довжина хвилі – відстань, на якій зсув фази дорівнює 2. Відповідно коефіцієнт фази визначає зсув фази на одиницю довжини. У формулі (3.1) комплексний коефіцієнт поширення виражений через коефіцієнт загасання (уявна частина) і коефіцієнт фази (дійсна частина).
7. У довільно обраній поперечній площині зсуви фази е = z і м = z + /2 будуть незмінними. Тобто поверхнею рівних фаз буде площина. В електродинаміці поверхню рівних фаз називають фронтом хвилі. Електромагнітні хвилі з пласким фронтом називають пласкими. Існують також циліндричні і сферичні хвилі.
8. В момент часу t1 у перетині z1 значення фази електричного поля дорівнює t1–z1. В момент часу t2 знайдеться такий перетин z2, що t1–z1 = t2–z2, або (t2–t1) = (z2–z1). За час t2–t1 фронт хвилі ніби змістився на відстань z2–z1. Швидкість руху фронту хвилі називають фазовою швидкістю
(3.9)
яка характеризує зміщення уявної поверхні рівних фаз і не пов'язана з рухом енергії.
9. Переміщення енергії в просторі характеризують швидкістю переносу енергії Vе. В необмеженому просторі Vф = Vе.
10. Середовище і електромагнітну хвилю, яка поширюється в цьому середовищі, характеризують комплексним характеристичним опором – відношенням комплексних поперечних складових в режимі біжучої хвилі (БХ)
, Ом. (3.10)
В середовищі з втратами комплексний характеристичний опір пласкої однорідної хвилі
. (3.11)
Модуль комплексного характеристичного опору зростає зі збільшенням частоти і зі зменшенням та . При зміні від 0 до значення змінюється від до 0, а аргумент /2 від 0 до /4.
11. Залежність характеристичного опору від частоти вказує на наявність фізичного явища, названого дисперсією. Електромагнітну хвилю називають дисперсною, а середовище диспергуючим.
12. Формули (3.2) (3.5) описують біжучу пряму однорідну поперечну пласку дисперсну електромагнітну хвилю. Співвідношення для розрахунку параметрів наведено у табл. 3.1. Видно, що при дисперсії від частоти залежать фазова швидкість, швидкість перенесення енергії та характеристичний опір.
Електромагнітні хвилі в діелектриках. Відповідно до табл. 1.2 існує три види діелектричних середовищ:
а) діелектрик з великими втратами диспергуюче середовище. Формули для розрахунку параметрів носять загальний вигляд, наведені в першому рядку табл. 3.1, де для скорочення запису введені коефіцієнти Aα, Aβ, Aδ , які пов'язані з коефіцієнтом загасання α, коефіцієнтом фази β і кутом втрат δ, відповідно;
б) діелектрик з малими втратами середовище з незначною дисперсією. Формули трохи спрощуються (див. другий рядок табл. 3.1);
в) ідеальний діелектрик = 0, tg = 0, = 0. Формули набувають дуже простого вигляду. Наприклад
, (3.12)
де параметри характеризують вільний простір. Для вакууму та повітря = 1.
Співвідношення (3.4) – (3.5) набувають вигляду
(3.13)
Ця хвиля недисперсна, поширюється без загасання, а електричне і магнітне поле мають однакові фази.
Електромагнітні хвилі в провідниках. У провідниках tg 1. Формули, наведені в табл. 3.1, виражені через глибину скін-шару провідника .
Таблиця 3.1 Формули для розрахунку параметрів електромагнітних хвиль в
необмежених середовищах
Класифікація середовища за табл. 1.2 |
Формули |
|
Значення tg |
Найменування середовища |
|
tg 1 (0,1 tg 10) (0 tg ) |
Діелектрик з великими втратами, диспергуюче середовище
|
|
tg 1 (tg 0,1) |
Діелектрик з малими втратами, середовище з незначною дисперсією
|
|
tg = 0 |
Ідеальний діелектрик, недиспергуюче середовище |
|
tg 1 (tg 10) |
Провідник, диспергуюче середовище |
|
tg |
Ідеальний провідник |
. Поширення електромагнітних хвиль неможливе |
Таблиця 3.2 Значення питомої провідності об'ємних металів і глибини скін-шару
Метал |
= 10-7, См/м) |
, мкм на частоті |
||
1 ГГц |
10 ГГц |
30 ГГц |
||
Ніхром |
0,086 |
16,8 |
5,3 |
3,1 |
Манганін |
0,217 |
10,8 |
3,4 |
1,97 |
Хром |
0,476 |
7,3 |
2,3 |
1,33 |
Тантал |
0,741 |
5,9 |
1,9 |
1,07 |
Молібден |
1,75 |
3,8 |
1,2 |
0,69 |
Алюміній |
3,57 |
2,7 |
0,84 |
0,48 |
Золото |
4,17 |
2,5 |
0,78 |
0,45 |
Мідь |
5,81 |
2,1 |
0,66 |
0,38 |
Срібло |
6,25 |
2,0 |
0,64 |
0,37 |
) Значення отримані усередненням даних, наведених у різних джерелах. Питома провідність = 107 См/м.
Параметр
Ом (3.14)
називають поверхневим опором. У провіднику хвиля поширюється із значним загасанням, зсув фази магнітного поля відносно електричного максимальний і дорів -
нює /4. Пов'язано це з тим, що глибина проникнення поля в провідник дуже незначна (див. табл. 3.2) і, відповідно, малі значення Vф, Vе, і великі , . Складові електромагнітного поля
(3.15)
В ідеальному провіднику поширення електромагнітних хвиль неможливе.
Поляризація електричного і магнітного полів. Електричне (або магнітне) поле має еліптичну поляризацію, якщо у фіксованій точці простору z = Const кінець вектора з плином часу описує еліпс (рис. 3.1). Якщо дивитися в напрямку поширення хвилі, то вектор може обертатися за годинниковою стрілкою (права поляризація ) або проти годинникової стрілки (ліва поляризація).
Окремими випадками еліптичної поляризації є лінійна поляризація, при якій одна з осей еліпса дорівнює нулю, і кругова поляризація, при якій осі
еліпса рівні.
Рисунок 3.1 Еліптична поляризація
Таблиця 3.3 – Дані для визначення виду поляризації
Вид поляризації |
Співвідношення |
|
Амплітуд |
Фаз |
|
Лінійна |
- |
|
Колова |
||
Еліптична |
||
Вид поляризації залежить від зсувів фази проекцій вектора на поперечні осі і від амплітуд цих проекцій. Дані для визначення наведено у табл. 3.3. Підкреслимо, що види поляризації електричного і магнітного поля в однієї хвилі, як правило, неоднакові. Якщо не вказано поле (електричне чи магнітне), припускають поляризацію електричного поля.
Особливості електромагнітних хвиль з різними поляризаціями:
– поле хвилі з круговою або еліптичною поляризацією можна подати у вигляді суми двох взаємоперпендикулярних лінійно поляризованих хвиль;
– поле еліптично або лінійно поляризованої хвилі можна подати у вигляді суми двох хвиль з коловою поляризацією правогвинтовою і лівогвинтовою;
– вид поляризації неоднорідної хвилі у різних точках поперечного перерізу може бути різним.
Класифікація та основні параметри електромагнітних хвиль. Узагальнимо стисло відомості про електромагнітні хвилі в необмежених середовищах. Класифікація хвиль наведена в табл. 3.4. Основні параметри, які описують електромагнітну хвилю, такі:
(3.16)
Таблиця 3.4 – Класифікація електромагнітних хвиль*)
Характерна ознака |
Назва електромагнітної хвилі |
1. Відсутність відбиття |
Біжуча |
2. Напрямок поширення |
Пряма або зворотна. Їх суперпозиція – стояча хвиля |
3. Наявність векторів тільки в поперечному перетині |
Поперечна |
4. Форма фазового фронту |
Пласка, циліндрична, сферична |
5. Залежність амплітуди від поперечних координат |
Однорідна або неоднорідна |
6. Значення питомої провідності середовища |
Дисперсна або хвиля без дисперсії |
7. Співвідношення амплітуд і зсувів фаз проекцій векторів на поперечні осі системи координат |
Лінійно поляризована, з коловою або з еліптичною поляризацією (табл. 3.3) |
*) Хвилі в обмежених середовищах класифікують аналогічно і характеризують такими самими параметрами. Але формули для розрахунку (3.16) залежать від умов поширення.
3.2 Ключові питання
1. Класифікація електромагнітних хвиль в необмеженому просторі.
2. Перелік, розмірність і фізичний зміст параметрів (3.16).
3. Визначення характеристичного опору.
4. Класифікація середовищ за значенням тангенса кута втрат.
5. Запис миттєвих значень складових електромагнітного поля в різних середовищах.
6. Особливості поширення електромагнітних хвиль в ідеальному діелектрику.
7. Особливості поширення електромагнітних хвиль в діелектрику із втратами.
8. Особливості поширення електромагнітних хвиль в провідниках.
9. Поляризація електромагнітних хвиль.