Дисперсионный анализ

11 Однофакторный дисперсионный анализ

1. Краткие сведения из теории статистики

Ранее были рассмотрены процедуры оценки значимости различия между средними двух выборок. Первая из возможных вероятностных моделей строилась на предположении, что обе вы­борки извлечены из нормальных совокупностей с общей диспер­сией (), но, возможно, с различными математическими ожиданиями. С помощью этой модели проверялось, согласуются ли выборочные данные с нулевой гипотезой о фактическом ра­венстве этих математических ожиданий. На практике эти две вы­борки могли быть измерениями каких-либо сопоставимых величин, полученных в результате различных «обработок», а расхожде­ние между математическими ожиданиями, если оно имеется, можно было приписать различию действия (эффекта) обработок. Например, измерения могли быть урожаями пшеницы, а две обработки соответствовали бы применению различных удобрений, так что одно из удобрений вносится на том поле, где собирают данные о первой выборке, а другое - на том, откуда поступают данные о второй выборке.

Одними из первопроходцев в области разработки статистических методов проверки гипотез были исследователи, занимавши­еся изучением сельского хозяйства. Так, дисперсионный анализ первона­чально был предложен Р. Фишером (1925) для обработки результатов агроно­мических опытов по выявлению условий, при которых испытываемый сорт сельскохозяйственной культуры дает максимальный урожай.

Но как сравнить три обработки и более? Один из способов со­стоит в их попарном сравнении, когда для каждой пары применяются методы, рассмотренные ранее. Это довольно обремени­тельно и не может быть признано удовлетворительным (не все пары будут независимыми), поэтому предпочтительнее обобщить двухвыборочную процедуру так, чтобы можно было ответить на вопрос: равны ли три (или более) математических ожидания?

Таким обобщением на три (и более) выборки является метод дисперсионного анализа, или ANOVA (Analysis of Variance — дисперсионный анализ), который служит для установления влияния отдельных факторов на изменчивость какого-либо признака, значе­ния которого могут быть получены опытным путем в виде случайной величины Y. При этом величину Y называют результативным признаком, а конкретную реализацию фактора А — уровнем (группой) фактора А или способом обработки и обозначают через .

В зависимости от числа оказывающих влияние факторов раз­личают однофакторный и многофакторный (двухфакторный и т. д.) дисперсионный анализ.

Задачи однофакторного дисперсионного анализа хотя и явля­ются самыми простыми в своем классе, но тем не менее весьма ча­сто встречаются на практике. Типичный пример - сравнение по достигаемым результатам нескольких уровней фактора, например установление зависимости выполненных на стройке за смену ра­бот от работающей бригады (см. пример 1).

Методы дисперсионного анализа основываются на идеях о различии средних. Логика рассуждений при этом состоит в следующем.

Пусть - математическое ожидание результативного признака соответственно при уровне .

Если при изменении уровня фактора групповые математичес­кие ожидания не изменяются, т. е. , то считаем, что результативный признак не зависит от фактора А, в противном случае такая зависимость имеется. Но поскольку числовые значения математических ожиданий неизвестны, возникает задача про­верки гипотезы

Проверить гипотезу о равенстве групповых математических ожиданий можно, соблюдая следующие требования при каждом уровне фактора:

1. наблюдения независимы и проводятся в одинаковых условиях;

2. результативный признак имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных уровней генеральной дисперсией .

При этом возникает вопрос, как установить, одинаковы генеральные дисперсии результативного признака при различны уровнях фактора или нет? Не зная числовых значений этих дисперсий, нельзя однозначно ответить на этот вопрос, можно лишь проверить гипотезу

В лекции 9 для проверки гипотезы был предложен критерий Фишера, но он применим только для двух выборок. Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий трех (и более) нормальных распределений применяется критерий Бартлетта

При выполнении гипотезы , величина w имеет распределение, близкое к -распределению с к=т-1степенями свободы. Для подтверждения (или опровержения) ги­потезы при заданном уровне значимости а находится правосто­ронняя критическая точка , определяющая критический ин­тервал . Если w_p попадает в интервал , то гипотеза , отвергается, в противном случае -принимается.

Если гипотеза подтверждается, то можно приступить непосредственно к процедуре дисперсионного анали­за, т. е. к проверке гипотезы . Сама процедура дисперсионного анализа базируется на том, что изменчивость или вариация наблюдаемых значений результативного признака Y может быть вызвана изменчивостью уровней фактора А и изменчи­востью значений случайных неконтролируемых факторов, влияю­щих на Y, которые называют остаточными.

В математической статистике доказывается формула разложе­ния общей выборочной дисперсии на сумму дисперсии группо­вых средних и средней из групповых дисперсий

На основе данного разложения для генеральной дисперсии находят три несмещенные оценки: . Причем является несмещенной оценкой в любом случае, а - только при выполнении гипотезы , т.е. только в том случае, когда фактор А не влияет на результативный признак Y.

Проверка гипотезы Н_о о равенстве групповых математических ожиданий основывается на сравнении оценок . В матема­тической статистике доказывается, что если гипотеза верна, то величина

имеет F-распределение с числом степеней свободы k=m-1 b l=n-m, т.е.

При использовании F-критерия строится правосторонняя критическая область . Это объясняется тем, что в дис­персионном анализе, как правило, числитель больше знаменателя . Если это не так, то считают, что наблюдения не подтверждают влияние фактора на признак.

Если расчетное значение F-критерия F_p попадает в интервал то гипотеза Н_о о равенстве групповых математичес­ких ожиданий отвергается, т. е. считаем, что фактор А влияет на результативный признак Y. Если же , то гипотеза Н_о не отвергается, и в этом случае говорят, что влияние фактора А на признак Y не подтвердилось выборочными наблюдениями.

Если в процессе анализа выявлено влияние фактора А на ре­зультативный признак Y, то можно измерить степень данного вли­яния с помощью выборочного коэффициента детерминации

который показывает, какая доля выборочной дисперсии объ­ясняется зависимостью результативного признака У от влияющего фактора А

Итак, однофакторный дисперсионный анализ позволяет по выборочным данным выяснить, влияет ли контролируемый фактор на результативный признак, и при наличии такого влияния оценить его степень.