Решение.

1. Составление расчетной схемы (рис. 19, б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены активные силы , пара сил с моментом и распределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точке О,

Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ, заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме активных сил, еще и реакции связи.

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:

; (а)

; (б)

. (в)

Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Из уравнения (а) находим:

.

Из уравнения (б) получаем:

.

Наконец, из уравнения (в) находим:

Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:

.

Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.

2. КИНЕМАТИКА

Задача 1. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени , найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное, нормальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории:

, (1)

где Х и Y в сантиметрах, t – в секундах.

Решение. 1. Определение уравнения траектории. Параметрическим представлением траектории является сам закон движения. Уравнение траектории в координатной форме получаем, исключая из закона движения время:

.

Получили , то есть траекторией точки является парабола. Для построения траектории рассчитаем по уравнениям координаты точек параболы, отвечающие нескольким моментам времени. Результаты расчетов приведены в таблице 3.

Таблица 3

t, с	0	0,5	1
X, cм	0	2	4
Y, см	- 1	1	7

Траектория построена на рис. 12, на ней стрелкой показано направление движения точки из начального положения при с координатами .

2. Определение скорости. Дифференцируя (1) по времени, находим проекции скорости точки на оси координат Х, Y:

. (2)

При .

Рис. 12

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

.

3. Определение ускорения. Дифференцируя (2), находим проекции вектора ускорения:

.

При .

По найденным проекциям определяем модуль ускорения:

4. Определение касательного ускорения при :

.

5. Определение нормального ускорения при :

.

6. Определение радиуса кривизны при :

.

Результаты вычислений для заданного момента времени приведены в таблице 4.

Таблица 4

Координаты, см			С к о р о с т ь,				Ус к о р е н и е,						Радиус кривизны, см
Х	Y	Vx		Vy	V	ax		ay	a	a	an	
2	1	4		8	8,9	0		16	16	14,4	6,9	11,6

На рис. 12 показано положение точки М в заданный момент времени.

Векторы скорости и ускорения в этой точки построены в масштабе по их проекциям на оси координат: , там же показаны касательное и нормальное ускорения. Совпадение величин a_ и a_n, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны проведен в сторону вогнутости траектории перпендикулярно к вектору скорости – по направлению a_n.

Задача 2. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 , см определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом равен S. R₂ = 50 см; r₂ = 30 см; R₃ = 60 см; r₃ = 40 см; S = 50 см (рис. 17).

Рис. 17

Решение. 1. Кинематический анализ. Механизм состоит из трех тел: груз 1 совершает поступательное движение, а колеса 2 и 3 вращаются вокруг неподвижных осей, перпендикулярных плоскости чертежа. Связи между телами идеальны. Определим момент времени t, когда путь S, пройденный грузом равен 50 см:

,

откуда

.

Скорость груза определим дифференцированием по времени уравнения движения:

.

2. Определение угловых параметров колес 2 и 3.

Угловая скорость колеса 2

.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес, то есть

,

откуда

.

Угловое ускорение колеса 3

.

3. Определение линейных параметров.

Скорость точки М колеса 3

и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Вращательное ускорение точки М

и имеет одинаковое со скоростью направление, так как вращение колес ускоренное (угловая скорость и угловое ускорение имеет одинаковые знаки).

Центростремительное ускорение точки М

и направлено по радиусу к центру колеса.

Полное ускорение

.

Значение всех определяемых величин для времени представлены в таблице, а направление скоростей и ускорений точки М показаны на рис. 18.

Таблица 5

			У с к о р е н и е,
			аε	аω	а
2,75	2,75	110	110	756,3	764,26

Рис. 18