Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементарная геометрия 2

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
15.11.2018
Размер:
126.46 Кб
Скачать

Пирамида

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и . Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°. Вычислите объём пирамиды.

  2. Основание пирамиды — треугольник, две стороны которого равны 3 и 6 и образуют угол в 60°. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите объём пирамиды, если боковое ребро равно .

  3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 6 и образуют угол в 120°. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания пирамиды ипод одинаковым углом. Найдите объём пирамиды, если боковое ребро равно .

  4. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами б и 8. Боковые грани составляют с плоскостью основания равные углы α, причём tgα = 3. Найдите объём пирамиды.

  5. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 24.

  6. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

  7. Высота правильной треугольной пирамиды равна , а двугранный угол, образованный боковыми гранями, равен 120°. Найдите длину стороны основания.

  8. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC. Боковое ребро пирамиды SA перпендикулярно плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если величина угла между прямой SA и прямой, проходящей через точку С и середину ребра SB, равна 60°, а расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно .

  9. В правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина, сторона основания равна 12. Найдите объём пирамиды, если площадь сече­ния пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и середины рё­бер АВ и АС, равна .

  10. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, где S — вершина, равна 8. Найдите расстояние между прямыми, содержащими рёбра CD и SB, если высота пирамиды равна 3.

  11. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2. Найдите расстояние между прямыми, содержащими диагональ основания и высоту боковой грани, если высота пирамиды равна .

  12. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 30°. Найдите , где h — высота пирамиды.

  13. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°. Точ­ка, удаленная от вершин этого треугольника на расстояние 35, удалена от плоскости треугольника на расстояние . Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника.

  14. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания 10. Боковая грань удалена от центра основания на расстояние . Найдите длину бокового ребра пирамиды.

  15. В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания рав­на , а высота DH пирамиды, опушенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна 4. Найдите расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точку Н параллельно плоскости DBC.

  16. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 10, а площадь сечения, параллельного боковой грани и проходящего через центр осно­вания, равна . Найдите сторону основания пирамиды.

  17. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено под углом φ к плоскости основания. Найдите расстояние между боковым реб­ром и серединой противоположной стороны, если объём пирамиды равен и cosφ = 1\3.

  18. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и апофемой пирамиды равен φ. Найдите дайну высоты пирамиды, если соsφ = объем пирамиды равен.

  19. Плоскость делит треугольную пирамиду на два многогранника. Во сколько раз объем большего из многогранников превосходит объём меньшего, если известно, что секущая плоскость делит три ребра, выходящие из одной вершины пирамиды в отношении 1 : 3, 1 : 4 и 2 : 3, считая от вершины.

  20. В правильной треугольной пирамиде SABC ребро SA наклонено к плоскости основания ABC под углом α. Найдите расстояние от середины ребра SA до прямой ВС, если cosα = 1/3, сторона основания пирамиды равна 6.

  21. В правильной треугольной пирамиде SABC ребро SA наклонено к плоскости основания ABC мод углом α. Найдите сторону основания пирамиды, если cosα = 1/3, а расстояние от середины ребра SB до прямой АС равно 12.

  22. В правильной треугольной пирамиде SABC ребро SA наклонено к плоскости основания ABC под углом 30°. Точка К делит ребро SA в отношении 1 : 3, считая от вершины S. Найдите площадь треугольника КВС, если сторона основания пирамиды равна 7.

  23. В правильной треугольной пирамиде SABC ребро SB наклонено к плоскости основания ABC под углом 30°. Точка К делит ребро SA в отношении 1 : 3, считая от вершины S. Найдите расстояние от точки К до прямой ВС, если площадь треугольника КВС равна 36.

  24. В пирамиде SABC - SA = 4, SB = 5, ABC = 150°. Найдите расстояние между прямыми AS и ВС, если известно, что SA — перпендикуляр к плоскости основания АВС.

  25. В треугольной пирамиде АBCD ребро AD перпендикулярно грани BCD и равно , а грань BCD является равнобедренным треугольником, в котором BD = CD = 4, ВС = . Найдите градусную меру угла между рёбрами CD и АВ.

  26. В основании пирамиды SAВCD лежит параллелограмм ABCD, SA=SD=SC=15, SB — высота пирамиды. Тангенс угла наклона между прямой SD и плоскостью основания пирамиды равен 0,75. Найдите, периметр основания пирамиды.

  27. SB — высота пирамиды SABCD, в основании которой лежит параллелограмм ABCD, а косинус угла между прямыми АВ и SC равен 0,4 , SA = SC = 15, АВ = 12. Найдите тангенс угла между прямой SD плоскостью основания.

  28. SB — высота пирамиды SABCD, в основании которой лежит па­раллелограмм ABCD, SA = SC = 20, АВ = 16, а тангенс угла между прямой SD и плоскостью ABC равен 0,75. Найдите косинус угла между прямыми SC и АВ.

  29. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна . Через вершину основания проведено сечение, параллельное противопо­ложной стороне основания и перпендикулярное противоположной боко­вой грани пирамиды. Сечение наклонено к плоскости основания пирамиды под углом, тангенс которого равен . Найдите объем пирамиды.

  30. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна . Через вершину основания проведено сечение, параллельное противопо­ложной стороне основания и перпендикулярное противоположной боко­вой грани пирамиды. Сечение наклонено к плоскости основания пирамиды под углом, тангенс которого равен 3/8. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

  31. В правильной пирамиде SABC сторона основания АВ = 3, боковое ребро SB = 6. Точка К лежит на ребре SB так, что SК : KB = 2 : 1. О — точка пересечения медиан грани SAB. Найдите площадь сечения, проходящего через точки С, К и О.

  32. Высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основа­нием ABCD равна 8. Найдите сторону основания, если его центр удалён от боковой грани пирамиды на расстояние 4,8.

  33. Высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основа­нием ABCD равна 4. Найдите сторону основания, если его центр удалён от бокового ребра пирамиды на расстояние 4/3.

  34. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 10, 13, 13. боковые грани пирамиды образуют с её основанием равные двугранные углы по 45°. Определите число, обратное значению объёма этой пирамиды.

  35. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 8, 10, 6. Бо­ковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Определите объём пирамиды.

  36. В правильной четырёхугольной пирамиде расстояние от центра ос­нования до бокового ребра равно , косинус угла между боковой гранью и основанием равен синусу этого угла. Найдите объём пирамиды.

  37. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ = 4. Через прямую АВ проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру SC и пересекающее его в точке К так, что SК : SC = 4 : 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

  38. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 3, а тангенс двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SMNPQ, где М, N, P, Q — середины сторон осно­вания.

  39. В пирамиде SABC основанием служит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. В треугольнике ABC проведена биссектри­са ВК, причём оказалось, что SK — высота пирамиды. Известно, что АВ = 2, ВС = 4, SК = 1. Найдите расстояние от точки К до плоскости ABS.

  40. Диаметр окружности, вписанной в основание правильной треугольной пирамиды, равен 10. Найдите объём пирамиды, если её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°.

  41. Объём правильной треугольной пирамиды равен 27. Её боковые гра­ни наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите диаметр окружности, вписанный в основание этой пирамиды.

  42. Дана правильная треугольная пирамида SABC. Через ребро АС проведена плоскость, составляющая угол 60° с плоскостью основания и пересекающая прямую, содержащую высоту пирамиды, в точке К. Найдите объём пирамиды КABC, если ВС = .

  43. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Через ребро ВС проведена плоскость, составляющая угол 30° с плоскостью основа­ния и пересекающая прямую, содержащую высоту пирамиды, в точке К. Найдите объём пирамиды KABCD, если АС = .

  44. Площадь основания правильной пятиугольной пирамиды равна 17, а все двугранные углы при основании равны 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

  45. Полная площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна , а плоский угол при её вершине, заключённый между противоположными рёбрами, равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Призма. Параллелепипед

  1. Боковые рёбра призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит равносторонний треугольник, наклонены к плоскости основания под уг­лом в 60°. Отрезок АС1 перпендикулярен плоскости основания. Найди­те длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна .

  2. Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 с боковыми рёбра­ми АА1, ВВ1, СС1 является правильный треугольник ABC со стороной . Вершина А1 проектируется в центр грани ABC. Ребро АА1 составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  3. Дана прямая призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит пря­моугольный треугольник ABC с гипотенузой СВ=. Угол меж­ду плоскостями CAB и АВС1 равен 30°. Найдите угол между плоскостями ABC и А1ВС, если ребро ВВ1 = 4.

  4. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник АВС. Катет ВС стягивает дугу, равную 60°. Через диагональ боковой грани, проходящей через другой катет АС, проведена плоскость, перпен­дикулярная этой грани и образующая с плоскостью основания угол 30°. Определите радиус описанной около треугольника ABC окружности, ес­ли площадь сечения равна 16.

  5. Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС=12, и боковой стороной АВ=15. Высота призмы равна 0,8. Плоскость α проходит через точку пе­ресечения медиан основания ABC и через середины рёбер А1В1 и В1С1. Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.

  6. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Высота призмы равна 2. Найдите расстояние от точки С1 до прямой АВ, если расстояние от точки В1 до прямой АС равно , а расстояние от точки А1 до прямой ВС равно .

  7. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 — треугольник ABC, пло­щадь которого равна 6, ВС = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и А1ВС, если площадь треугольника А1ВС равна.

  8. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — ромб ABCD со стороной, равной 7. Площадь ромба равна 28. Тангенс угла между плос­костью основания призмы и плоскостью АВС1 равен 2,75. Найдите длину бокового ребра призмы.

  9. Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ и катетами АС = 3, ВС = 2. Высота приз­мы равна . Найдите косинус угла между ребром АС и диагональю А1В.

  10. Основанием прямой призмы ABCA1B1С1 является равнобедренный треугольник, в котором АВ = АС = , ВС = 2. Высота призмы рав­на 1. Найдите градусную меру угла между ребром АС и диагональю А1В боковой грани.

  11. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 высота равна 7, а диаметр описанной около боковой грани окружности равен . Найдите косинус угла между плоскостью А1ВЕ и плоскостью AFF1.

  12. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 вы­сота равна 4, а диаметр описанной около основания окружности ра­вен . Найдите синус угла между плоскостью A1CD и плоскостью ос­нования призмы.

  13. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 вы­сота равна 5, а диаметр описанной около основания окружности равен . Найдите величину, обратную косинусу угла между плоскостями A1CD и AF1F.

  14. Сторона ВС основания ABC прямой призмы ABCA1B1C1 равна 20. Расстояние от точки B1 до прямой АС равно 15, а синус угла между прямыми В1С1 и АС равен 0,6. Найдите высоту призмы ABCA1B1C1.

  15. Сторона ВС основания ABC прямой призмы ABCA1B1C1 равна 15. Расстояние между прямыми В1С1 и АС равно 8, а синус угла между этими прямыми равен 0,4. Найдите расстояние от точки В1 до прямой АС.

  16. Высота прямой призмы ABCА1В1С1 с основанием ABC равна 12. Угол между прямыми BC1 и АС равен 90°, а синус угла между прямыми A1B и АС равен. Найдите тангенс угла между плоскостью ВС1А и АВС, если А1В = 13.

  17. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 с основанием АВС равна 3. Угол между прямыми ВС1 и АС равен. Найдите градусную меру угла между плоскостью АС1В и прямой СС1 если А1В = 5.

  18. В основании треугольной прямой призмы АВСА1В1С1 лежит рав­нобедренный прямоугольный треугольник АВС, АВ = ВС. Через сто­рону АС проведена плоскость, пересекающая боковое ребро В1В в точ­ке О и делящая его в отношении 1 : 3, считая от точки В1. АС = 10. Высота призмы равна 16. Найдите отношение площадей треугольников SОАС : SABC.

  19. В треугольной прямой призме АВСА1В1С1 через сторону АС ниж­него основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро В1В к точке О и делящая его в отношении 1 : 3, считая от вершины В1 , ОК — высота треугольника АОС. Треугольник ОКВ — равнобедренный. Найдите отношение квадратов площадей треугольников АОС и АВ1С.

  20. Пусть ABCDА1В1С1D1 — прямоугольный параллелепипед. Диагонали смежных боковых граней АВ1 и CB1 составляют с АС углы α и β. Сколько градусов составляет угол между плоскостью АВ1С и плос­костью основания, если tg α= 1, tg β = 4.

  21. Пусть ABCDА1В1С1D1 —прямоугольный параллелепипед. Диагонали смежных боковых граней CB1 и CD1 составляют с B1D1 углы α и β. Сколько градусов составляет угол между плоскостью B1CD1 и плоскостью основания, если tg α = 0,5. tg β = 4.

  22. В прямоугольном параллелепипеде АВСА1В1С1 АВ = 2 и ВС = 4. На ребре АА1 выбрана точка К так, что А1К = 4, а на ребре ВВ1 — точка L так, что B1L = 3. Найдите площадь сечения, проходящего через точки K, L и D1.

  23. Высота прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 10. Рассто­яние от вершины А до плоскости А1ВС равно 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью A1BC, если ВС = 16.

  24. Высота прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 12. Угол между плоскостью основания АВС и плоскостью А1ВС равен α. Найдите расстояние от вершины А до плоскости А1ВС, если известно, что sinα = 0,6.

  25. В правильной треугольной призме площадь полной поверхности равна . Найдите радиус окружности, вписанной в боковую грань призмы.

  26. Найдите объём прямой треугольной призмы АВС А1В1С1, у которой О — точка пересечения медиан треугольника ABC, C1OC =45°, АС = ВС = 10, АВ = 12.

  27. Высота прямой призмы ABCА1В1С1 равна 12. Основание призмы — треугольник ABC, в котором АВ = АС, ВС = 18, tg C = 0,4. Найдите тангенс угла между прямой АС1 и плоскостью ВB1С1.

  28. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDА1В1С1D1. Расстояние от точки С до плоскости BC1D равно . Плоскость ВС1D на­клонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите сторону основа­ния призмы.

  29. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDА1В1С1D1. Расстояние от точки С до плоскости C1DB равно 4. Плоскость C1DB образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите отношение объёма приз­мы к площади боковой поверхности.

  30. Основание прямой призмы ABCDА1В1С1D1 — параллелограмм ABCD, в котором CD = 10, BAD = 30°. Высота призмы равна 15. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью D1BC.

  31. Основанием прямой призмы ABCА1В1С1 является равнобедренный треугольник ABC с прямым углом С. На рёбрах АА1 и ВВ1 взяты точки К и F соответственно так, что АК = ВF и АК : КА1 = 1 : 2 . Найдите 3SFКС если объём призмы равен 8, АС = .

  32. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Через ребро СС1 проведено сечение CC1D1D, перпендикулярное к плоскости АА1В. Найдите площадь сечения, если объём призмы равен 10,2. AD = 0,9. BD = 2,5.

Куб

  1. В кубе ABCDА1В1С1D1 расстояние между вершиной А и серединой ребра D1C1 равно 3. Найдите площадь полной поверхности куба.

  2. Точки А, В и С — середины попарно скрещивающихся рёбер куба. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС, если ребро куба равно .

  3. Ребро куба ABCDА1В1С1D1 равно 6. Точка L — середина ребра АВ, точка N— середина ребра DD1. Найдите объём пирамиды AA1LN.

  4. Объём куба ABCDA1B1C1D1 равен 18. Точки L, К, М, N, L1 , К1 , M1 , N1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD, DA, А1В1 , В1С1 , C1D1 , D1A1 . Найдите объём многогранника LKNМL1K1M1N1. Если .

Конус

  1. Угол между образующими СА и СВ конуса равен 60°, высота конуса равна 7,5, а АВ=. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости ABC.

  2. Высота прямого кругового конуса равна 15, а радиус его основания равен 25. Плоскость, проходящая через вершину конуса и удалённая от центра его основания на расстояние, равное 12, пересекает основание ко­нуса по отрезку АВ. Найдите длину отрезка АВ.

  3. Радиус основания конуса равен , а его высота равна 7. Найдите расстояние между образующей конуса и перпендикулярной ей прямой, на которой лежит диаметр основания.

  4. Радиус основания прямого кругового конуса равен 3, а площадь бо­ковой поверхности равна 15π. Найдите площадь осевого сечения этого ко­нуса.

  5. Объём прямого кругового конуса равен 100π. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания, если вы­сота конуса равна 12.

Цилиндр

  1. Радиус основания цилиндра равен 6. Основание ВС равнобедрен­ного треугольника ABC является хордой окружности одного основания этого цилиндра, а вершина С лежит на окружности другого основания. Длина боковой стороны треугольника ABC равна 12, а его проекцией на основание цилиндра является правильный треугольник. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

  2. Высота цилиндра равна 80, а радиус основания — 26. В окружность основания вписан остроугольный треугольник ABC такой, что ВС = 20, и АВ = АС. Отрезки АА1 и ВВ1 — образующие цилиндра. Найдите ко­тангенс угла между плоскостью СВВ1 и плоскостью ВА1С.

  3. Высота цилиндра равна 40, а радиус основания 26. В окружность ос­нования вписан тупоугольный треугольник ABC такой, что ВС = 20, АВ = АС. Отрезки АА1 и ВВ1 — образующие цилиндра. Найдите тан­генс угла между плоскостью СВВ1 и плоскостью ВА1С.

  4. Радиус основания цилиндра равен , а высота равна 6. Отрезки АВ и CD — диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА1 его образующая. Известно, что sinBCD = Найдите градусную меру.