19. Следствия из преобразований Лоренца

1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x₁ и x₂ в один и тот же момент вр емени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x'₁ и x'₂ в разные моменты времени t'₁ и t'₂:

Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.

2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсче та между этими же событиями проходит время

Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.

3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина

Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциа льные системы отсчета.

4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (v_x, v_y, v_z), то его скорос ть v' = (v'_x, v'_y, v'_z) в другой системе отсчета равна

или в трехмерной векторной форме 

5. Из соотношени (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии

v²=(v_x)²+(v_y) ²+(v_z) ²=c², (n6)

получим

v'²=(v'_x)²+ (v'_y)²+(v'_z) ²=c². (n7)

Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.

20. Ньютоновское выражение для импульса   или . Вот это выражение надо сделать инвариантным. Это возможно, если в него будут входить инвариантные величины. В выражении

(8.5.1)

m – постоянная величина – масса частицы в системе k (собственная масса частицы), инвариантная величина;  dt – интервал времени по часам неподвижного наблюдателя. Если заменить  dt  на  – собственное время частицы, тоже инвариантная величина, то получим инвариантное выражение для импульса .

       Преобразуем это выражение с учетом того, что :

	или         .

21. 1   постулат Эйнштейна или принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению ко всем инерциальным системам отсчета. Все физические, химические, биологические явления протекают во всех инерциальных системах отсчета одинаково.

2  постулат или принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме постоянна и одинакова по отношении» к любым инерциальным системам отсчета. Она не зависит ни от скорости источника света, ни от скорости его приемника. Ни один материальный объект не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Более того, пи одна частица вещества, т.е. частица с массой покоя, отличной от нуля, не может достичь скорости света в вакууме, с такой скоростью могут двигаться лишь полевые частицы, т.е. частицы с массой покоя, равной нулю.

Итак, перед нами - знаменитый «эйнштейновский поезд», движущийся с релятивистской скоростью. Есть два наблюдателя. Один находится в середине самого поезда, другой – на станции. Все организовано таким образом, что в тот момент, когда проводники поравняются друг с другом, они принимают одновременно два световых сигнала, выпущенных ранее с двух концов поезда. После этого каждый из них делает свои выводы о соотношении моментов посылки этих сигналов.

С наблюдателем, находящимся в середине поезда, все просто: оба сигнала, по его мнению, преодолели одинаковые расстояния (половину длины поезда), пришли к нему одновременно, значит, считает он, и выпущены были тоже одновременно.

Сложнее с наблюдателем на станции. Прежде всего, он понимает, что в моменты выпуска сигналов середина поезда была от него еще на некотором расстоянии. Таким образом, голова поезда была к нему ближе, чем хвост. Световой сигнал от хвоста в итоге преодолел большее расстояние, затратил на свой путь соответственно больший промежуток времени, следовательно, должен был быть выпущен раньше, чем от головы.

22.   Преобразования Лоренца - преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся прямолинейно с постоянной скоростью v. Преобразования Лоренца отражают равноправие всех инерциальных систем отсчёта в описании законов природы. Если инерциальная система отсчёта K' движется относительно инерциальной системы отсчёта K с постоянной скоростью v вдоль оси x, то преобразования Лоренца имеют вид

y = y', z = z',

(1)

c - скорость света в вакууме, β = v/c. Формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.

Рис. Система координат K' движется относительно неподвижной системы координат K со скоростью v вдоль оси x.

    При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея

x = x' + vt, y = y', z = z', t = t'.

Из преобразований Лоренца следует, что промежутки времени Δt и отрезки длины Δl зависят от движения системы отсчёта. Если в системе K' два события, происходящие в одном и том же месте, разделены интервалом времени Δt', то в системе K эти же происходящие в разных местах события разделены промежутком времени Δt

Если отрезок, покоящийся в системе K', имеет длину Δl', то его длина Δl в системе K, т.е. расстояние между двумя одновременными в K событиями регистрации положения концов отрезка, принимает значение

Поперечные размеры тел при этом не изменяются.     Формулы преобразования скорости:

  

Электрическое поле E и магнитное поле H при преобразовании Лоренца преобразуются следующим образом:

     

Координаты 4-мерного вектора энергии-импульса с компонентами (ε/c, p_x, p_y, p_z) при преобразовании Лоренца преобразуются следующим образом:

Энергия частицы 

Импульс частицы 

    Преобразования Лоренца, указывающие на относительность промежутков времени и отрезков длины между двумя событиями, оставляют инвариант­ной, т.е. не зависящей от выбора системы отсчёта, их комбинацию, называемую интервалом.

Инвариантом при преобразовании Лоренца является также квадрат 4-вектора энергии-импульса

24. Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину 

25.

Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки 

а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя".

Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности А. Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся релятивистской частицы (а также тела и вообще любой системы частиц) выполняются следующие соотношения:

где E, , , m — энергия, импульс, скорость и масса покоя частицы соответственно, c — скорость света. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда обращаются в нуль скорость и импульс массивного тела, его энергия в нуль не обращается, оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:

Эта величина носит название энергии покоя, и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. Таким образом, Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии, тем самым законы сохранения массы и энергии были объединены в один закон сохранения

23. соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем

так что имеем формулу

21