DtaVYeA-k1-1

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Понятие. Цели и задачи планирования эксперимента

Планирование эксперимента – это один из разделов математической статистики, появившийся относительно недавно (около 50 лет назад), в настоящее время стал новой самостоятельной научной дисциплиной.

Предметом данной дисциплины является эксперимент в самом широком его понимании, а именно: совокупность операций (действий) совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах.

Основной целью планирования эксперимента является определение условий и правил проведения эксперимента, позволяющих с наименьшими затратами (труда, материалов, финансов) получить наиболее широкую, надежную и достоверную информацию об исследуемом объекте. Не менее важным при этом является также представить полученную информацию в компактной и удобной для использования форме с количественной оценкой ее точности. Планирование эксперимента является универсальным методом, он направлен на решение практических задач исследования самых разнообразных задач, в том числе так называемых «плохо организованных» объектов. «Плохо организованными» называют такие объекты, в которых многочисленные различные по своей природе явления протекают совместно, в тесной связи, где очень сложно разграничить их действие и влияние на исследуемые свойства объекта.

Практика использования методов планирования эксперимента в самых разнообразных отраслях науки показывает его достаточно высокую эффективность, выражаемую в том, что:

• сокращается объем работ по проведению эксперимента;

• значительно повышается достоверность получаемых результатов;

• результаты эксперимента подвергаются статистической обработке и представляются в соответствующей математической форме.

Методы планирования эксперимента позволяют определенным образом организовать получение статистического материала, отвечающего определенным требованиям, обеспечивают возможность его соответствующей математико-статистической обработки. При этом заранее выбирается тот или иной метод обработки; эксперимент направленно организуется по специально разработанной программе (плану); результаты эксперимента подвергаются статистической обработке, на основе которого строится математическая модель исследуемого объекта, описывающая его с заданной точностью. Следует отметить, что сам план проведения эксперимента может быть оптимизирован по тем или иным показателям или критериям: например, минимум числа необходимых опытов (измерений) и т.п.

Основными задачами, решаемыми с помощью методов планирования экспериментов, являются:

1. Выяснить механизм исследуемого процесса с той или иной точностью, т.е. создать его математическую модель по результатам статистических измерений и наблюдений. В этом случае ставятся так называемые факторные эксперименты.

2. Определить условия оптимума некоторой функции от нескольких переменных. В этом случае используются методы планирования так называемых экстремальных экспериментов (методы крутого восхождения, симплекс-метод и т.п.).

Постановка задачи планирования эксперимента

Приступая к экспериментальным исследованиям, исследователь, как правило, не имеет исчерпывающих сведений о механизме исследуемого процесса; имеется лишь некоторая априорная информация в виде некоторых предположений о возможном поведении исследуемого объекта, о некоторых параметрах, а также факторах, которые могут повлиять на исследуемый процесс или поведение исследуемого объекта. В таких условиях используют так называемый кибернетический подход, в основе которого лежит предложенная Н Винером идея рассматривать исследуемый объект как «черный ящик», на который воздействуют некоторые факторы; они могут быть управляемыми: x₁, x₂, …; или неуправляемыми: z₁, z₂, … (т.н. «возмущения»). Выходной параметр y (исследуемым является, как правило, один параметр) является результатом эксперимента и называется откликом (или функцией цели). Зависимость между откликом и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика и представляет собой в общем случае функцию многих переменных: , о которой, как указывалось, мы имеем лишь самые общие (а подчас интуитивные) представления, но хотим узнать, возможно, больше. Задавая определенную совокупность переменных X_i, в результате эксперимента мы можем получить соответствующие значения Y, а фиксируя различные совокупности – как угодно много информации об исследуемой функции. Задача, прежде всего, заключается в том, чтобы правильно ее использовать.

Если исследуется влияние на Y всего лишь одной независимой переменной, то задача достаточно проста: в этом случае задаваясь несколькими значениями Х можно получить зависимость , и цель будет достигнута. Если у нас нет уверенности, что опыты хорошо воспроизводятся (отсутствует однозначность), следует повторить их несколько раз при одних и тех же значениях Х и построить зависимость с учетом полученного разброса значений Y (используя методы статистической обработки экспериментальных данных).

Если независимых переменных две, то задача существенно не усложняется: в этом случае снимают семейство зависимостей при . При необходимости подбирают аналитические выражения, аппроксимирующие полученные зависимости.

Задача существенно усложняется, если переменных 3, 4 или еще больше. В этом случае конечно можно получить ряд семейств зависимостей; однако, следует заметить, что полученная в таком виде информация об исследуемой функции будет практически бесполезной, поскольку очень трудно поддается анализу: трудно предположить, что у кого-то найдется время и терпение извлекать необходимые сведения (данные) из многочисленных, сложно связанных между собой зависимостей.

На основе имеющейся информации иногда можно определить вид исследуемой функции. В этом случае задача сводится к нахождению неизвестных постоянных, входящих в принятое выражение исследуемой функции. Следует, однако, заметить, что это можно сделать далеко не всегда и этот случай является нетипичным. Значительно чаще встречается ситуация, когда не удается предположить какой-либо определенный вид исследуемой функции. В таком случае на помощь приходит очень простая и плодотворная идея: рассматривать не саму функцию, а ее разложение в какой-либо степенной ряд. Например, степенной ряд следующего вида:

На практике, естественно, ограничиваются конечным числом членов данного разложения. Такое представление исследуемой функции, называемое уравнением регрессии (или моделью исследуемого процесса), возможно, если исследуемая функция является непрерывной и достаточно «гладкой».

Таким образом, основной задачей, стоящей перед исследователем, заключается в следующем:

• задавая определенное число сочетаний независимых переменных определить соответствующее число значений Y; при этом необходимо учесть, что под влиянием каких либо случайных обстоятельств для одних и тех же сочетаний переменных X_i величины Y могут быть различными;

• используя полученную информацию, найти коэффициенты уравнения регрессии В₀, В₁ и т.д.;

• проверить насколько полученное уравнение регрессии согласуется с данными эксперимента; если такая проверка дает положительный результат, то можно считать, что цель достигнута.

При этом возникает ряд вопросов, суть которых сводится к следующим:

1. Что известно об исследуемой функции? Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний следует взять для определения значения отклика Y?

2. Как найти коэффициенты В₀, В₁ и т.д., чтобы уравнение регрессии наилучшим образом соответствовал исследуемой функции?

3. Как оценить точность полученного представления функции?

Поставленные вопросы и являются предметом планирования эксперимента. Ключевой задачей в данном случае является нахождение уравнения регрессии, осуществляемое методом пошагового поиска: вначале принимают линейную модель; если она оказывается неудовлетворительной, то повышают степень до 2, 3 и т.д. до тех пор, пока не будет получено уравнение регрессии, которое адекватно описывает исследуемый объект.

Основные этапы планирования эксперимента и их содержание

Решение задачи по планированию эксперимента начинают с анализа факторов, т.е. переменных , влияние которых на функцию цели изучается. Одна из основных свойств факторов состоит в том, исследователь может изменять их по своему усмотрению. В этом состоит одна из основных идей планирования эксперимента: хорошее математическое описание (уравнение регрессии) исследуемого процесса может быть получено только в том случае, если есть возможность при работе с исследуемым объектом, определенным образом задавать сочетания факторов X_i. В этом случае мы имеем дело с т.н. активным экспериментом. Однако, возможны ситуации, в которых исследователь не может управлять факторами, а может лишь регистрировать (контролировать) их изменения, произошедшие по объективным причинам (не по воле исследователя). В этом случае проводится т.н. пассивный эксперимент (в данном случае он не рассматривается).

Весьма важным при назначении факторов является их независимость (некоррелированность) от других факторов. Это должно быть установлено до начала решения задачи. Важным требованием, предъявляемым к факторам, является значимость, т.е. фактор должен быть существенным в исследуемом процессе. В процессе их анализа следует предварительно отсеять незначимые факторы. Естественно, что это требует предварительной информации, определенных знаний об исследуемом объекте или процессе.

Не менее важным является правильный выбор диапазона изменения (уровней варьирования) факторов, поскольку он задает область определения исследуемой функции Y. Эти диапазоны могут быть широкими (ограниченными лишь физическими соображениями), если ставятся факторные эксперименты, т.е. исследуется механизм процесса с целью создания его математической модели; или наоборот узкими, если ставятся экстремальные эксперименты, т.е. исследуются условия оптимума исследуемой функции и решаются задачи оптимизации. И в том и другом случае для каждого из факторов X_i известны граничные значения X_iмин и X_iмакс. Если установить для каждого фактора координатную ось, то полученное таким образом пространство называют факторным пространством. Таким образом, устанавливая диапазоны изменения факторов, мы тем самым задаем область определения функции в факторном пространстве. Для случая двух факторов можно показать факторное пространство в виде прямоугольника: (см. рис.). Можно изобразить аналогично трехмерное пространство и распространить такое представление на n-мерное пространство (изобразить его, естественно, невозможно).

Следует отметить еще одно важное условие, которое должно в обязательном порядке соблюдаться в процессе постановки эксперимента – это совместимость факторов. Несовместимость означает, что определенное сочетание факторов разрушает нормальное течение исследуемого процесса. Иными словами, любое сочетание факторов в пределах факторного пространства должно быть реализуемым и не приводило к абсурду. По этому поводу можно привести классический пример из области химии, когда факторами могут быть компоненты какого-либо полезного продукта, свойства которого изучаются; если существует некоторое их сочетание в принятых диапазонах изменения, при котором происходит взрыв, то в таком случае условие совместимости не выполняется. В электричестве условием несовместимости могут быть: короткое замыкание и, как следствие, возгорание или электродинамическое разрушение электрооборудования; пробой изоляции и т.д.

Следующим этапом процесса планирования эксперимента, осуществляемым в процессе подготовки к проведению эксперимента, является кодирование факторов. Следует отметить, что выбранные факторы в общем случае являются размерными величинами; причем, их размерности могут быть самыми разнообразными; числа, выражаемые величины факторов могут иметь совершенно разные порядки. Это может привести к серьезным неудобствам в процессе решения задачи по нахождению коэффициентов уравнения регрессии. В связи с этим (есть и другие причины), истинные (натуральные) значения факторов преобразуют в безразмерные величины, т.е. осуществляют преобразование факторного пространства. Для этого необходимо, прежде всего, задать верхние и нижние пределы изменения каждого фактора в процессе проведения эксперимента: X_iмин и X_iмакс (см. предыдущий этап). Сама операция кодирования сводится к переносу начала координат факторного пространства в точку с координатами: , где . При этом все факторы масштабируются в пределах от –1 до +1, т.е. X_{i мин} соответствует безразмерной величине –1, X_{i макс} – +1, а X_i ср – 0. Таким образом кодированные значения факторов связаны с натуральными их значениями следующими соотношениями:

Таким образом, уравнение регрессии с использованием кодированных значений факторов приобретает следующий вид:

Следует отметить, что коэффициенты в этом уравнении отличаются от коэффициентов в исходном уравнении регрессии.

Следующим этапом планирования эксперимента, также осуществляемым перед непосредственным проведением эксперимента является составление т.н. плана-матрицы эксперимента. Иными словами мы должны определить, сколько значений факторов и в каких сочетаниях их следует задавать. В этом отношении различают т.н. полный факторный эксперимент и дробный факторный эксперимент (т.н. дробные реплики). Полный факторный эксперимент реализуется при всех возможных сочетаниях уровней варьирования факторов: если мы имеем n факторов, каждый из которых задается на q уровнях, то для осуществления полного факторного эксперимента необходимо поставить qⁿ опытов. Наиболее широкое распространение получили эксперименты, в которых факторы варьируют на двух уровнях: +1 и –1: эксперименты типа ; менее популярными являются эксперименты с варьированием на трех уровнях: +1; 0 и –1, т.е. эксперименты типа , поскольку с ростом числа уровней резко возрастает требуемое число опытов.

№ опыта	х1	х2
1 2 3 4	–1 +1 –1 +1	–1 –1 +1 +1

Составление плана-матрицы эксперимента обычно осуществляется следующим образом: для x₁ уровни чередуются в каждом опыте; для x₂ – через два опыта; для x₃ – через четыре и т.д. Например, если мы имеем два фактора, то план-матрица имеет следующий вид: (см. таблицу). Его называют ортогональным планом 1-го порядка.

Следующим этапом планирования эксперимента является т.н. рандомизация опытов, т.е. установление случайного порядка постановки опытов во времени. Это необходимо для того, чтобы внести элемент случайности влияния «возмущений» (неуправляемых факторов) на исследуемый процесс и соответственно обоснованного использования аппарата математической статистики. Рандомизация опытов осуществляется, как правило, с помощью таблицы случайных чисел или каким-либо другим способом (извлечение номеров из урны и т.п.).

После выполнения подготовительных операций (кодирование факторов, рандомизация опытов) реализуется эксперимент в соответствии с разработанным планом. Его проведение является важнейшим и наиболее трудоемким этапом. Немаловажное значение в процессе проведения экспериментов является отсутствие субъективного влияния на результаты измерений. Иными словами, необходимо точно и добросовестно фиксировать абсолютно все результаты, не допуская выборочности. Следует отметить, что иногда молодые научные работники стремятся получить требуемый результат (подтверждающий гипотезу) выбирают только те экспериментальные данные, которые хорошо согласуются с теоретическими предположениями. В таких случаях могут быть утеряны весьма ценные данные об исследуемом процессе, восстанавливаемые с большими потерями. В процессе проведения экспериментов в обязательном порядке ведется журнал, в который заносят все без исключения получаемые результаты, даже при наличии резко отличающихся данных. В таких случаях следует зафиксировать также и обстоятельства, при которых они были получены, что может позволить установить их причину: то ли это соответствует реальному ходу процесса, то ли это грубый промах. В процессе проведения экспериментов необходимо контролировать состояние измерительных устройств и элементов: во-первых, правильность показаний (для этого систематически осуществляется рабочая поверка средств измерений; если она установила, что измерительные приборы не обеспечивают требуемой точности, то эксперименты следует приостановить, а соответствующие приборы передать на госповерку); во-вторых, надежность работы измерительных устройств.

В результате проведения экспериментов при определенном сочетании факторов получаем численные значения функции цели. Для оценки воспроизводимости процесса и проведения статистических оценок предусматриваются параллельные опыты при каждом сочетании уровней факторов.

Завершающей частью процесса планирования эксперимента является анализ результатов эксперимента, на основе которого делают вывод о подтверждении гипотезы научного исследования. Однако, в первую очередь на основании полученных результатов осуществляется проверка воспроизводимости опытов. При одинаковом числе параллельных опытов на каждом сочетании уровней факторов воспроизводимость исследуемого процесса проверяется по т.н. критерию Кохрена, вычисляемого в соответствии со следующим выражением:

где s_u – дисперсия, характеризующая рассеяние результатов опытов на u-м сочетании уровней факторов, определяемая следующим образом:

,

где – число параллельных опытов;

s_{u макс} – наибольшая из дисперсий в строчках плана.

Процесс является воспроизводимым, если выполняется следующее условие: – табличное значение критерия Кохрена при 5% уровне значимости (или 95% доверительной вероятности); – число независимых оценок дисперсии; – число степеней свободы каждой оценки.

Если условие воспроизводимости исследуемого процесса выполняется, то осуществляется определение коэффициентов уравнения регрессии. Основной задачей на данном этапе планирования эксперимента является получить такие значения коэффициентов, при которых поверхность отклика , полученная на основе уравнения регрессии, проходила как можно ближе к экспериментальной. В таких случаях наиболее широко используется т.н. метод наименьших квадратов, в котором в качестве критерия приближения (близости) двух этих функций используется требование, чтобы сумма квадратов отклонений между известными значениями исследуемой функции, получаемой в процессе эксперимента и на основе принятого уравнения регрессии, должна быть минимальной:

,

где n – число экспериментальных точек, по которым проводится аппроксимирующая поверхность;

u – номер экспериментальной точки;

– значения, полученные в результате эксперимента и на основе уравнения регрессии, соответственно.

На основе частных производных данного выражения по соответствующим коэффициентам уравнения регрессии получают систему уравнений, решение которой дает значения коэффициентов. Следует отметить, что в первом приближении принимают т.н. линейную модель (см. выше). В этом случае ограничиваются определение коэффициентов: .

(см. уравнение регрессии)

Следующим этапом процесса планирования эксперимента является проверка адекватности линейной модели. В данном случае необходимо установить приемлемость данной аппроксимации, т.е. степень соответствия полученного уравнения регрессии исследуемому процессу. Такая проверка осуществляется с помощью т.н. критерия Фишера: адекватность обоснована, если выполняется условие:

;

y_u – рассчитанное значение отклика в u-м опыте;

– табличное значение критерия Фишера с принятой доверительной вероятностью равной 0,95;

– число степеней свободы дисперсии адекватности;

f_у – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости (в данном случае ).

Если в результате анализа выяснилось, что линейная модель неадекватна, то переходят к модели 2-го порядка и соответственно к планам 2-го порядка (в данном случае не рассматривается). Если же модель адекватна, то приступают к выполнению завершающего этапа планирования эксперимента: оценке значимости коэффициентов уравнения регрессии. Она осуществляется чаще всего с помощью т.н. критерия Стьюдента: коэффициент считается значимым, если выполняется следующее условие:

,

где – табличное значение критерия Стьюдента при 95% доверительной вероятности и числе степеней свободы f_у.

Если оказывается, что данный коэффициент незначим, то им в уравнении регрессии можно пренебречь, т.е. принять равным нулю.

Список литературы

1. Сиденко В.М., Грушко И.М. Основы научных исследований. – Харьков: Изд. Об-е «Вища школа», 1978. – 200 с.

2. Ивоботенко Б.А., Ильинский Н.Ф., Копылов И.П. Планирование эксперимента в электромеханике. – М.: Энергия, 1975. – 184 с.

3. Винарский М.С., Лурье М.В. Планирование эксперимента в технологических исследованиях. – К.: Техніка, 1975. – 168 с.