3.2.1. Структура мереж Петрі

Мережа Петрі складається з 4-х елементів: множина позицій Р (places), множина переходів Т (transitions), вхідна функція I (input) та вихідна функція О (output). Вхідна і вихідна функції пов'язані з переходами і позиціями. Вхідна функція I відображає перехід t_j в множину позицій I(t_j), які називають вхідними позиціями переходу. Вихідна функція О відображає перехід t_j в множину позицій О(t_j), які називають вихідними позиціями переходу.

Структура мережі Петрі визначається її позиціями, переходами вхідної і вихідної функції.

Визначення:

Мережа Петрі C є четвіркою C = Р, Т, I, O, де Р = {р₁, p₂, ..., p_n} – скінченна множина позицій, n  0; Т = {t₁, t₂, ..., t_m} – скінченна множина переходів, m  0. Множина позицій і множина переходів не перетинаються, Р  Т = ;

I: T  P^ є вхідною функцією – відображення з переходів в комплекти позицій;

О: T  P^ є вихідною функцією – відображення з переходів в комплекти позицій.

Позиція p_i є вхідною позицією переходу t_j в тому випадку, якщо p_iI(t_j); p_i є вихідною позицією, якщо p_iО(t_j).

Входами і виходами переходів є комплекти позицій. Комплект є узагальненням множини, в яку включені елементи, що повторюються багато разів – тиражовані елементи. Використання комплектів, а не множин для входів і виходів переходу дозволяє позиції мати кратний вхід або кратний вихід для відповідного переходу. Кратність вхідної позиції p_i для переходу t_j є число появ позиції у вхідному комплекті переходу #(p_i, I(t_j)). Аналогічно кратність вихідної позиції p_i для переходу t_j є число появ позиції у вихідному комплекті переходу #(p_i, O(t_j)). Якщо вхідна і вихідна функції є множинами (а не комплектами), то кратність кожної позиції рівна або 0, або 1.

Вхідні і вихідні функції використовуються для відображення позицій в комплекти переходів або навпаки для відображення переходів в комплекти позицій.

Визначимо, що перехід t_j є входом позиції p_i, якщо p_i є виходом t_j. Перехід t_j є виходом позиції p_i, якщо p_i є входом t_j.

3.2.2. Графи мереж Петрі

Наочність мережевого моделювання систем істотно підвищується, якщо використовувати теоретико-графовое представлення мережі Петрі у вигляді дводольного орієнтованого мультиграфа.

Відповідно до даного підходу структура мережі Петрі є сукупністю позицій і переходів, а граф мережі – два типи вузлів, сполучених дугами (стрілками).

В графах мереж Петрі використовують такі позначення: коло є позицією, а планка | – переходом. Орієнтовані дуги сполучають позиції і переходи, при цьому одні дуги направлені від позицій до переходів, а інші – від переходів до позицій. Дуга, направлена від позиції р_i до переходу t_j, визначає позицію, яка є входом переходу. Кратні входи в переході вказуються кратними дугами з вхідних позицій в перехід. Вихідна позиція вказується дугою від переходу до позиції. Кратні виходи також представлені кратними дугами.

Мережа Петрі є орієнтованим мультиграфом, оскільки допускає існування кратних дуг від однієї вершини графа до іншої. Вершини графа можна розділити на дві множини (позиції і переходи) таким чином, що кожна дуга буде напрямлена від елемента однієї множини (позицій або переходів) до елемента іншої множини (переходів або позицій); отже, такий граф є дводольним орієнтованим мультиграфом.

Визначення:

Граф G мережі Петрі – дводольний орієнтований мультиграф G = V, A, де V = {v₁, v₂, ..., v_s} – множина вершин; А = {а₁, а₂, ..., а_r} – комплект направлених дуг а_i = (v_j, v_k), де v_j, v_kV.

Множина V може бути розбита на дві підмножини Р і Т, що не перетинаються, V = РТ і PТ =_. Крім того, для будь-якої направленої дуги a_iА, якщо а_i = (v_j, v_k), тоді або v_jР і v_kТ, або v_jТ і v_kР.

Рис. 1. Графічне зображення мережі Петрі

Приклад графа мережі Петрі зображений на рис. 1.