Тема 12. Исследование функций и построение графиков
12.1. Использование методов дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков
Пусть на некотором интервале
задана функция
.
Теорема 1. Для того, чтобы функция
,
дифференцируемая на интервале
,
была постоянной на этом интервале,
необходимо и достаточно, чтобы в каждой
точке этого интервала
.
Теорема 2. Пусть функция
дифференцируема на интервале
.
1. Если в каждой точке этого интервала
,
то на этом интервале функция строго
монотонно возрастает.
2. Если в каждой точке этого интервала
,
то на этом интервале функция строго
монотонно убывает.
Определение 1. Точку
называют точкой локального максимума
функции
,
если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
.
Определение 2. Точку
называют точкой локального минимума
функции
,
если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
.
Определение 3. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 3 (П.
Ферма). Если
функция
определена на интервале
и в некоторой точке
достигает наибольшего или наименьшего
значения, тогда либо
,
либо в точке
производная функции
не существует.
Следствие. (Необходимое
условие существования локального
экстремума).
Если функция
имеет в точке
локальный экстремум, то либо
,
либо в точке
производная функции
не существует.
Определение 4. Точки промежутка
,
в которых
или не существует, называют критическими
точками
Определение 5. Точки промежутка
,
в которых
,
называют стационарными точками.
Теорема 4 (первое
достаточное условие существования
локального экстремума). Пусть
функция
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
.
1. Если при переходе через точку
слева направо производная
меняет знак с плюса на минус, то в точке
функция
имеет локальный максимум.
2. Если при переходе
через точку
слева направо производная
меняет знак с минуса на плюс, то в точке
функция
имеет локальный минимум.
3. Если при переходе
через точку
слева направо производная
не меняет знак, то в точке
функция
не имеет локального экстремума.
Теорема 5 (второе достаточное условие
существования локального экстремума).
Пусть функция
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
и дважды дифференцируема в самой точке
.
1. Если
,
то в точке
функция
имеет локальный минимум.
2. Если
,
то в точке
функция
имеет локальный максимум.
3. Если
,
то вопрос требует дополнительного
исследования.
Алгоритм исследования функции на строгую монотонность и наличие точек экстремума
1) Найти производную функции
.
2) Решить любое из неравенств
или
.
Выписать числовые множества, являющиеся
решением каждого из указанных неравенств,
указать промежутки возрастания и
убывания функции.
3) Найти критические точки функции. Исследовать их с помощью одного из достаточных условий существования локального экстремума.
4) Вычислить значения функции в точках локального экстремума. Записать ответ.