11.2. Производные высших порядков

Определение 6. Производной второго порядка (второй производной) называют производную от производной первого порядка:

Определение 7. Производной -го порядка называют производную от производной -го порядка: .

Пример 4. Вычислить производную третьего порядка от функции .

Решение. , , .

11.3. Использование понятия производной в экономике

11.3.1 Предельные показатели в микроэкономике

Все экономические показатели можно разделить на абсолютные и относительные. Абсолютные показатели выражаются в каких-либо объемных или денежных единицах и представляют собой либо значение величины за определенный промежуток времени (потоковое значение), либо значение величины на определенную дату (запасовое значение). Относительные показатели представляют собой отношения абсолютных (или других относительных) показателей: например, количество единиц одного показателя на единицу другого в один и тот же момент времени или отношение двух значений одного и того же показателя в различные моменты времени. Для комплексного анализа экономической ситуации важно учитывать как абсолютные, так и относительные показатели. Наиболее широко используют средние и предельные величины.

Пусть – некоторый абсолютный показатель. Его так же называют суммарной величиной. В экономике в роли суммарных величин выступают доход (выручка) или издержки как функции объема выпуска ( или ), объем выпуска как функция от количества переменного ресурса, например, труда , полезность как функция количества потребляемого блага и другие экономические показатели.

Среднюю величину определяют как отношение суммарной величины к независимой переменной : . Примеры средних величин в экономике: средний доход (выручка) , средние издержки , средний продукт труда и т.д.

Маржинальную (предельную) величину определяют как производную суммарной величины по независимой переменной : (предполагается, что независимая переменная меняется непрерывно). В случае, когда суммарная величина меняется дискретно, то под маржинальной (предельной) величиной понимают отношение изменения суммарной величины к вызвавшему это изменение изменению независимой переменной : . Примеры предельных величин в экономике: предельный доход (выручка) , предельные издержки , предельный продукт труда и т.д.

Суммарные, средние и предельные величины могут быть заданы как аналитически (формулой), так и графически.

Пример 5. Пусть зависимость издержек производства задана формулой . Найти средние и предельные издержки при объеме продукции единиц.

Решение. Средние издержки задают формулой , тогда ; средние издержки при объеме продукции единиц денежных единиц. Предельные издержки задают формулой , тогда ; предельные издержки при объеме продукции единиц денежных единиц.

11.3.2. Эластичность функции

Пусть величина непрерывно зависит от , и эту зависимость описывают функцией . Изменение независимой переменной () приводит к изменению переменной (). Требуется измерить чувствительность зависимой переменной к изменению независимой переменной . В экономике для измерения чувствительности используют относительные изменения переменных и .

Определение 8. Предел отношения относительных изменений переменных и называют эластичностью функции .

Обозначим эластичность изменения переменной при изменении переменной , тогда, используя определение производной, получаем

,

где – предельное значение функции в точке , – среднее значение функции в точке . Эту эластичность называют так же предельной или точечной эластичностью.

Свойства эластичности

1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины и : .

2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины: .

3. Эластичность произведения двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента , равна сумме эластичностей этих функций: .

4. Эластичность частного двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента , равна разности эластичностей этих функций: .

5. Эластичность суммы двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента , вычисляется по формуле .