10.4. Точки разрыва функции

Определение 12. Точки, в которых функция не определена или определена, но не является непрерывной, называют точками разрыва функции.

Определение 13. Точку называют точкой устранимого разрыва функции , если .

Определение 14. Точку называют точкой разрыва первого рода функции , если .

Определение 15. Точку называют точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из ее односторонних пределов в точке бесконечен или не существует.

Алгоритм исследования точек разрыва и поведения функции вблизи границ области определения

1) Найти область определения функции. Выписать точки, подозрительные на разрыв и являющиеся границами области определения.

2) В каждой точке разрыва вычислить пределы слева и справа. В зависимости от результата определить тип каждой точки разрыва.

Пример 2. Исследовать поведение функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать их тип.

Решение. 1) Функция не определена в точке . Точек разрыва нет.

2) Односторонние пределы: , . Оба односторонних предела бесконечны.

Пример 3. Исследовать поведение функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать их тип.

Решение. 1) Функция не определена в точке .

2) Односторонние пределы: , . Левосторонний предел бесконечен.

Теорема. Если функция определена и монотонна на отрезке , то она либо непрерывна на этом отрезке, либо имеет на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

10.5. Функции в экономической теории

Наиболее часто в экономике используются следующие функции:

– функция полезности (функция предпочтений) – в широком смысле зависимость полезности (результата, эффекта) некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия;

– производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обуславливающих его факторов;

– функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов;

– функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема выпуска продукции;

– функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары от различных факторов (цены, дохода и т.п.).

10.5.1. Кривые спроса и предложения. Паутинная модель рынка

Зависимость спроса от цены на товар является убывающей функцией. Эту зависимость можно задать степенной функцией , где , .

Зависимость предложения от цены на товар является возрастающей функцией. Эту зависимость так же можно задать степенной функцией , где .

Величины , , положительны, поэтому графики этих функций расположены в первой четверти (рис. 10.1). Величины и зависят от внешних причин (так называемые экзогенные параметры).

Для экономики представляет интерес условие равновесия . Решение этого уравнения, цену называют равновесной ценой. Геометрически это точка пересечения графиков функций и (рис. 10.1).

Задача поиска равновесной цены представляет собой фактически торг между производителем и покупателем. В процессе торга возникает последовательность чисел, состоящая из называемых производителем и покупателем цен. В определенных условиях (функции и вогнутые, то есть , , ) эта последовательность сходится к равновесной цене: (рис. 10.2, а). При других условиях (функции и выпуклые, то есть при и , или при и ) равновесная цена неустойчива. В процессе торга последовательность цен расходится (рис. 10.2, б). Такое возможно, если производитель является монополистом.

Для функций и можно подобрать и другие функциональные зависимости. При этом должны выполняться следующие условия: должна быть положительной, возрастающей вогнутой функцией, а – положительной, убывающей вогнутой функцией.