Следовательно, t₂ = 1, t_i = 2. прямой t = 2 (второй прямой t Mo(5;10; — 1).

Ответ: Mo(5; 10; —1).

Положив в уравнении первой = 1), найдём точку пересечения

12.6. Найдите точку Q, являющуюся проекцией точки P(—46; 2; —12) на прямую L

x — 2y + z + 12 =

2x + 3y — z — 22

0,

0.

(12.6)

Найдите точку S, симметричную точке P относительно этой прямой.

8. (Q(2,4,-6)

8. нения прямой L. Так как

8. = 0,

8. S(x,y,z) Рис. 12.1

Решение. Точку Q найдём как точку пе­ресечения прямой L c плоскостью П, про­ходящей через точку P перпендикулярно прямой L. Запишем параметрические урав-

21

3 —1

то неизвестное x можно принять в качестве свободного системы (12.6). Положим x = t и выразим из системы (12.6) неизвестные y и z через t. Полу­чим параметрические уравнения данной прямой:

^x = — 3t +10,

z = 7t + 8

(12.7)

Направляющий вектор прямой l = (1; —3; —7) можно принять в качестве вектора нормали плоскости П. Записываем общее уравнение плоскости П: x — 3y — 7z + D = 0. Точка P лежит в плоскости П, поэтому —46 — 6 + 84 + D = 0, D = —32. Урав­нение плоскости П: x 3y 7z 32 = 0. Находим точку пере­сечения прямой (12.7) с плоскостью П (см. задачу 12.3): t — 3(—3t + 10) — 7(—7t + 8) — 32 = 0, 59t — 118 = 0, t = 2. Из (12.7) при t = 2 находим координаты точки Q(2; 4; 6).

Координаты точки S обозначим (x, y, z). Так как точка Q -середина отрезка PS (рис. 12.1), то

-46 + x ₂ __п 2 + y -12 + z

2 = 2, x = 50; —2~ =4, У = 6; 2 = ~6> z = 0.

Итак, S(50;6;0).

Ответ: Q(2; 4; -6); S(50;6;0).

Найдите координаты точки Q, являющейся проекци­ей точки P(—2; 1; 4) на плоскость x — 4y + 5z + 28 = 0. Найди­те координаты точки S, симметричной точке P относительно данной плоскости.

Решение. Точку Q находим как точку пересечения прямой L, проходящей через точку P перпендикулярно данной плос­кости. Прямая L параллельна вектору нормали N = (1; —4; 5) плоскости, поэтому вектор N является направляющим для этой прямой. Записываем параметрические уравнения прямой L:

x = t - 2, У = -4t + 1, z = 5t + 4

и находим точку пересечения её с плоскостью: (t-2) -4(-4t + 1) + 5(5t + 4) + 28 = 0, 42t + 42 = 0; t = -1. В па­раметрических уравнениях прямой положим t = -1 и найдём координаты точки Q(-3; 5; -1).

Координаты точки S обозначим (x, y, z). Так как точка Q -

середина отрезка PS, то

-2 + x 1 + y 4 + z

—2— = -3, x = -4; ^- = 5, У = 9; —-— = -1, z = -6.

Итак, S(-4;9; -6).

Ответ: Q(-3; 5; -1), S(-4; 9; -6).

Найдите расстояние d от точки P(1; -2; 3) до прямой

x = 2t + 4,

y = -t + 3,

z = 2t - 1.

Решение. Нас.119 пособия [5] (задача 2) приведена формула

вычисления расстояния d от точки до прямой: d

|[ri - ro, l]| 1 '

где ri - радиус-вектор данной точки, ro - радиус-вектор какой-нибудь точки прямой, l - направляющий вектор прямой. В на­шем случае ri = (1; —2; 3), ro = (4; 3; —1), l = (2; —1; 2). Нахо­дим

|[ri — ro, l]| = V6² + 14² + 13² = \/4oT,

8. 3

V4oI

Щ W4 + 1 + 4 = 3; d

Ответ:

3

12.9. Найдите расстояние d между скрещивающимися пря­мыми L\ и L2, заданными параметрическими уравнениями:

x = t + 2, ( x = 2t + 1, У = 2t + 1, I y = 2t + 4, z = t + 3, ( z = t + 2.

Решение. Нас.119 пособия [5] (задача 3) приведена формула (2.17) вычисления величины d:

d

ri, li, l2)|

где ri, r2 - радиусы-векторы точек, лежащих на прямых Li и L2, li, l2 - направляющие векторы этих прямых. В нашем случае п = (2; 1; 3), r2 = (1; 4; 2), li = (1; 2; 1), b = (2; 2; 1). Выполняем вычисления:

8. ^(r2 ^{— r}i^{, l}i^{, l}2⁾

— 1 3 —1 —13 —1

2 1 = 0 5 0 = 5;

2 1 2 2 1

[li, I2]

i j k

2 1

2 1

j — 2k; l2]| = ^1² + (-2)² =

5

Следовательно, d = —= = л/б.

V5

Ответ: \/б.

12.10. Дано, что прямая L пересекает ось ординат в точке (0; 4; 0), параллельна плоскости x + 2y + 3z + 2 = 0 и перпен­дикулярна оси OZ. Найдите координаты точки Q пересечения этой прямой с плоскостью y = 0.

Решение. Неизвестен направляющий вектор l прямой L. Пусть l = (m,n,p). По условию задачи вектор l параллелен плоскости x + 2y + 3z + 2 = 0, следовательно, он перпендику­лярен её вектору нормали N = (1; 2; 3). Поэтому (l, N) = 0. Вы­числяем скалярное произведение: m + 2n + 3p = 0. Вектор l так­же перпендикулярен оси OZ, т.е. вектору k = (0; 0; 1). (l, k) = 0, следовательно, p = 0. Таким образом, m + 2n = 0. Положим n = 1, тогда m = —2, т.е. l = (—2; 1; 0). Запишем параметриче­ские уравнения прямой L:

x = —2t, У = t + 4, z = 0.

Обозначим координаты точки Q(xo,yo,Zo). Из параметри­ческих уравнений следует Zo = 0. yo = 0, поскольку точка Q принадлежит плоскости y = 0. Тогда 0 = t + 4 и значение па­раметра t = —4 соответствует точке Q. Находим координату xo = —2 • (—4) = 8. Итак, точка Q имеет координаты (8; 0; 0).

Ответ: (8; 0; 0).

Замечание. Из условия перпендикулярности прямой L оси OZ не следует, что прямая L пересекает ось OZ, следует лишь перпендикулярность вектора l оси OZ.

12.11. Две прямые, пересекающиеся в точке P(2; 3; 1), па­раллельны плоскости x + 2y + 2z — 4 = 0. Одна из них пересе­кает ось OZ, а вторая - ось OY. Найдите косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Решение. Одна из прямых проходит через точку P(2; 3; 1) и точку оси OZ, которую мы обозначим Mi(0;0; Zo), а вторая - через точку P(2; 3; 1) и точку оси OY, которую мы обозна­чим М2(0; yo;0). Направляющими векторами li и Ь прямых являются векторы PMi и PM2. Вычисляем их координаты: li = (—2; —3; zo — 1), l2 = (—2; yo — 3; —1). По условию задачи векторы l_i и l₂ параллельны плоскости x + 2y + 2z — 4 = 0, т.е. перпендикулярны вектору N = (1; 2; 2). Поэтому (li, N) = 0 или —2 — 6 + 2(zo — 1) = 0, (l2, N) = 0 или —4 + 2(yo — 3) = 0. Из полученных уравнений находим z_o = б; y_o = б. Таким обра­зом, l_i = (—2; —3; 4), l₂ = (—2; 2; —1). Вычисляем косинус угла между векторами l_i и l₂:

(li, b) 4 — 6 — 4 2

cosP =,.,,. 1 = , , = = p=.

|li ||l21 V4 + 9 + 16^4 + 4 + 1 3^29

Ответ: cos p

3^/29'

12.12. Прямая L пересекает прямую

x = t + 2, y = 3t — 1, z = 4t + 3,

проходит через точку P(1; 2; —4) и пересекает ось OX в точке Q(xo; 0; 0). Найдите xo.

Решение. Условием пересечения двух прямых является ра­венство (r2 — ri, li, b) = 0. В нашем случае ri = (2; —1;3), li = (1; 3; 4), Г2 = (1; 2; —4), b = PQ = (xo — 1; —2; 4). Находим

1. 0.

2. ^(r2 ^{— r}i^{, l}i^{, l}2⁾

—1 3 —7 1 3 4

xo — 1 —2 4

Разложим определитель по третьей строке