- •1. Действия над матрицами
- •2. Вычисление определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Линейные пространства. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Переход от одного базиса к другому
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.14. Дана система линейных однородных уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответ: Mo(5; 10; —1).
- •Ответ: xo
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.19. Запишите параметрические уравнения прямой
- •12.38. Пусть линейный оператор a : r3 — r3 является:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16.6. Охарактеризуйте линии пересечения гиперболоида
- •Задачи для самостоятельного решения
-
-
d
-
-
|1 • 1 — 2 • 4 — 2 • 5 + 3| = |1 — 8 — 10 + 3| = 14
-
V1 + 4 + 4 = 79 = ~3~'
-
Ответ: d = 14/3.
-
11.9. Запишите уравнения плоскостей, удалённых от плоскости 2х + 6y + 3z — 6 = 0 на расстояние d = 5.
-
Решение. Искомые плоскости параллельны данной, а потому их векторы нормали можно взять совпадающими с вектором нормали N = (2;6;3) данной плоскости. Таким образом, искомые уравнения имеют вид 2х + 6y + 3z + D = 0. Осталось определить свободный член D. По условию любая точка на данной плоскости удалена от плоскости 2х + 6y + 3z + D = 0 на расстояние d = 5. Пусть это точка Mi(xi, yi, zi). Очевидно, 2х1 + 6yi + 3zi — 6 = 0 или 2x1 + 6yi + 3zi = 6. Используем формулу для вычисления расстояния от точки Mi до плоскости 2х + 6y + 3z + D = 0:
-
|2xi +6yi +3zi + D\ |6 + D\ |6 + D\
-
.= = 5 или r=^- = 5, = 5, -
V4 + 36 + 9 V49 7 '
-
Записываем уравнение без знака модуля: 6 + D = ±35. Отсюда Di = 29, D2 = —41. В результате, мы получили две плоскости 2х + 6y + 3z + 29 = 0 и 2х + 6y + 3z — 41 = 0, удалённые от данной точки на расстояние d = 5.
-
Ответ: 2х + 6y + 3z + 29 = 0, 2х + 6y + 3z — 41 = 0.
-
-
Задачи для самостоятельного решения
-
Определите, какие из точек
-
Mi(—2; 2; —6), М2—1;2; — 3), Мз(2;3; —8), М4(2; —2; 6) принадлежат плоскости 3х — 2y + 5z + 40 = 0.
-
Ответ: точки Mi, М3 принадлежат плоскости.
-
Дана плоскость х — 3y + 6z — 21 = 0. Запишите координаты любых трёх точек, принадлежащих этой плоскости.
-
Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку Мо( —1; 2; —3) перпендикулярно вектору N = (3; —2; 5).
-
Ответ/. 3х — 2y + 5z + 22 = 0.
-
Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(3; 0; —4) параллельно плоскости x — 4y + 2z + 6 = 0.
-
Ответ: x — 4y + 2z + 5 = 0.
-
Запишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: M1 (0; —1; 2), M2(2; 0; 3), M3(—3; 4; 0).
-
Ответ: 7x — y — 13z + 25 = 0.
-
Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(—2; 1; 4) и M2(0; 3; 1) перпендикулярно плоскости
-
4x + 3y — 5z + 4 = 0.
-
Ответ: x + 2y + 2z — 8 = 0.
-
Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(—5; 2; —1) параллельно плоскости OXZ.
-
Ответ: y — 2 = 0.
-
Вычислите площадь треугольника, который отсекает плоскость 5x — 6y + 3z + 120 = 0 от координатного угла OXY.
-
Ответ: 240.
-
Вычислите объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2x — 3y + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.
-
Ответ: 8.
-
Запишите уравнение плоскости, равноудалённой от плоскостей 4x — y — 2z — 3 = 0 и 4x — y — 2z — 5 = 0.
-
Ответ: 4x — y — 2z — 4 = 0.
-
На оси OY найдите точку, отстоящую от плоскости x + 2y — 2z — 2 = 0 на расстояние d = 4.
-
Ответ: (0; 7; 0), (0; —5; 0).
-
11.21. Охарактеризуйте взаимное расположение плоскостей: а) x — 2y + 3z — 5 = 0, x + 3y — 2z — 2 = 0, 5x + 5y — 16 = 0;
-
б) 2x - y - z + 3 = 0, 3x + 4y - 2z = 0, 3x - 2y + 4z - 6 = 0;
-
в) 2х - z - 1 = 0, x - 3y - 4z + 3 = 0, 5x - 9y - 13z + 10 = 0.
-
Ответ: а) пересекаются по одной прямой; б) пересекаются в одной точке; в) три плоскости не имеют общих точек.
-
-
12. Прямая в пространстве
-
Необходимо изучить подраздел 2.5 пособия [5]. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей:
-
Г Aix + Siy + Ciz + Di = 0, () \ A2x + + C2z + D2 = 0 (.)
-
общее уравнение прямой, где векторы нормали плоскостей Ni = (Ai ,Bi,Ci) ^ N2 = (A2, B2, C2). Заметим, что направляющий вектор l прямой параллелен вектору [Ni, N2], поскольку l ± N1 и l ± N2.
-
Если известен направляющий вектор l = (m,n,p) прямой и какая-нибудь точка Mo(xo,yo,zo) на ней, то прямую можно определить соотношением
-
r = ro + tl, (12.2)
-
где ro - радиус-вектор точки Mo, r - радиус-вектор любой точки прямой, t(-oo < t < +00) - числовой параметр.
-
В координатной форме уравнение (12.2) можно записать в двух видах:
-
x = xo + tm,
-
y = yo + tn, (12.3) z = zo + tp и x-xo = y^yo = z-z° mnp Соотношения (12.3) называют параметрическими, а (12.4) - каноническими уравнениями прямой. Подчеркнём, что в параметрических уравнениях прямой коэффициенты при параметре t определяют координаты направляющего вектора.
-
Параметрические и канонические уравнения прямой определяются неоднозначно, поскольку точку Mo(xo,yo,zo) можно выбрать на прямой многими способами, направляющий вектор l определяется также с точностью до скалярного множителя, т.е. если l - направляющий, то вектор Al (Л = 0) также направляющий.
-
Итак, чтобы записать уравнение прямой, необходимо найти либо две плоскости, проходящие через эту прямую, либо её направляющий вектор и точку, лежащую на прямой.
-
Нужно уметь переходить от уравнения прямой в форме (12.1) к уравнениям прямой в формах (12.3) и (12.4). Сделать это можно различными способами.
-
Первый способ. Направляющий вектор прямой можно найти по формуле:
-
-
i
-
j
-
k
-
l = [Ni, N2] =
-
Ai
-
Bi
-
Ci
-
A2
-
B2
-
C2
-
Любое частное решение (xo,yo,zo) системы (12.1) даёт координаты точки Mo(xo, yo, zo) на прямой. Поэтому можно задать одно из чисел xo, yo, zo, подставить его в систему и найти две других координаты точки Mo.
-
Второй способ. Уравнения (12.1) можно рассматривать как систему относительно неизвестных x, y, z. Так как векторы Ni = (Ai, Bi, Ci) и N2 = (A2, B2, C2) непараллельны, то один из определителей
-
или D3
-
Di
-
Ai A2
-
Bi B2
-
Bi B2
-
Ci C2
-
D2
-
Ai Ci A2 C2
-
не равен нулю. Следовательно, ранг основной матрицы системы, а потому и расширенной, равен двум. Поэтому в системе (12.1) одно неизвестное свободное, а два других - зависимые. Если, например, Di = (AiB2 — A2B1) = 0, то в качестве свободного можно принять неизвестное z, а в качестве зависимых x и у. Разрешая систему (12.1) относительно x и у, получаем общее решение системы
-
J x = az + y, [у = pz + 5.
-
Положив z = t, находим параметрические уравнения
-
x = at + y, У = et + 5,
-
z=t
-
x — y у — 5 z — 0
-
и канонические уравнения = —-— = прямой.
-
a р 1
-
Третий способ. Можно найти два частных решения системы (12.1), что даст координаты двух точек Mo(xo,yo,zo) и Mi(xi,yi,zi) на прямой. Вектор M0M1 является направляющим вектором прямой, поэтому можно записать каноническое уравнение прямой:
-
x — xo = у — yo = z — zo
-
xi — xo у1 — yo zi — zo'
-
Две прямые r = ri + tli и r = Г2 + tl2 могут
-
быть параллельными, если ЦЦЬ;
-
совпадать, если (ri — Г2)^li HI2;
-
пересекаться, если (ri — r2, li, I2) = 0;
-
скрещиваться, если (ri — r2, li, = 0. Напомним, что здесь ri и r2 - радиусы-векторы каких-нибудь точек, лежащих на первой или второй прямой соответственно, а li и l2 - направляющие векторы.
-
Следующие простые задачи (12.1-12.5) встречаются во многих более сложных.
-
12.1. Запишите параметрические и канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:
-
Г 2x + 3у + z — 16 = 0,
-
\ x + 2у — z + 6 = 0. (.)
-
Решение.
-
Первый способ. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей с нормалями Ni = (2; 3; 1) и N2 = (1; 2; —1). Находим направляющий вектор прямой:
-
i j k
-
l = [N1, N2]= 2 3 1 = — 5i + 3j + k. 1 2 —1
-
Для того, чтобы найти координаты точки Mq(xq, yo, zo) на прямой положим Xo = 0. При этом
-
Г 3yo + zo — 16 = 0, \ 2yo — zo + 6 = 0.
-
Складывая уравнения, получаем 5yo — 10 = 0 и yo =2. Затем находим zo = 10. Итак, Mo(0;2;10). Записываем параметриче- ские / = 5,
-
y = 3t + 2, z = t + 10
-
и канонические
-
X
-
^5
-
y—2
-
z
-
10
-
уравнения прямой.
-
Второй способ. Так как D\
-
23 12
-
1 = 0, то неизвест-
-
ное z системы (12.5) можно принять в качестве свободного и
-
записать ( п , „ -, „
-
2х + 3y = 16 — z,
-
X + 2y = — 6 + z. Находим общее решение этой системы, выражая х и y через z:
-
Г х = — 5z + 50, \ y = 3z — 28.
-
Полагая z = t, записываем параметрические
-
х = — 5t + 50, y = 3t — 28,
-
z = t x — 50 у + 28 z „ _
-
и канонические = = — уравнения прямой. Точ-
-
—5 3 1
-
ка Mo(50; —28; 0) получена из параметрических уравнений при t = 0. В качестве точки Mo можно взять и другую точку, например (0; 2; 10), получающуюся при t = 10.
-
i x = — Ы,п x у — 2 z — 10 Ответ: \ у = 3t + 2, — = = .
-
z = t + 10, — 5 3 1
-
12.2. Запишите канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки Mi(1; —3; 4) и M2(—2; 1; 2).
-
Решение. В качестве направляющего вектора можно взять вектор l = MiM2 = (—3; 4; —2), а в качестве точки Mo - любую
-
x — 1 у + 3 z — 4 из точек Mi или M2. Поэтому — = —4— = —2 канони- ческие уравнения прямой MiM2. Её параметрические уравне-
-
x = — 3t + 1, ния у = 4t — 3, z = — 2t + 4
-
x
-
1= у + 3 = z — 4
-
x = — 3t + 1, Ответ: l у = 4t — 3,
-
z = — 2t + 4, 4 12.3. Найдите точку Mo пересечения прямой
-
x = 3t — 2, у = —2t + 3, z = 4t — 1
-
и плоскости x + 2у + 4z — 30 = 0
-
Решение. Находим то значение параметра to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости Так как точка Mo(3to — 2, —2to + 3, 4to — 1) лежит в данной плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, 3to — 2 + 2(—2to + 3) + 4(4to — 1) — 30 = 0,
-
3to — 2 — 4to + 6 + 16to — 4 — 30 = 15to — 30 = 0, to = 2.
-
Полагая в параметрических уравнениях прямой t = 2, находим точку пересечения Mq: xq = 3 • 2 — 2 = 4, yo = —2 • 2 + 3 = — 1, zo = 4 • 2 — 1 = 7. Итак, Mo(4; —1; 7).
-
Ответ: М0(4; —1;7).
-
12.4. Докажите, что прямые
-
x = 2t — 5, y = —3t + 5,
-
4t 4
-
z
-
-
x = 3t — 4, y = —2t + 1, и z = t + 3
-
которой они
-
пересекаются. Найдите уравнение плоскости, в расположены.
-
-
0,
-
—1
-
4
-
—7
-
—1
-
4
-
—7
-
(r1 — ^ l1, l2) =
-
3
-
—2
-
1
-
=
-
0
-
10
-
—20
-
2
-
—3
-
4
-
0
-
5
-
—10
-
-
т.е. прямые пересекаются.
-
Плоскость, в которой они расположены, параллельна векторам li, I2 и проходит через точку Mi(—4; 1; 3). В качестве вектора нормали можно взять вектор N:
-
-
N = [li, l2]
-
i j k
-
3 —2 1
-
2-3 4
-
(—5i — 10j — 5k)||(1;2;1).
-
Поэтому уравнение плоскости можно записать в виде
-
x + 2y + z + D = 0. Поскольку плоскость проходит через точку Mi(—4; 1; 3), то —4 + 2 + 3 + D = 0, D = —1. Уравнение x + 2y + z — 1 = 0 является искомым.
-
Ответ: x + 2y + z — 1 = 0.
-
12.5. Докажите, что прямые
-
x = 2t + 1, ( x = t + 4,
-
y = 3t + 4, и I y = 2t + 8, z = -2t + 3 { z = 3t - 4
-
пересекаются. Найдите координаты точки Mo их пересечения.
-
Решение. Доказать, что прямые пересекаются можно так же, как и в задаче 12.4. Но мы рассмотрим другой способ решения. Если данные прямые пересекаются, например, в точке Mo(xo, yo, zo), то существуют значения параметра t = ti для первой прямой и t = t2 — для второй прямой, которые соответствуют одной и той же точке Mo. С одной стороны, координаты точки Mo(2ti + 1, 3ti + 4, -2ti + 3), с другой стороны Mo(t2 + 4, 2t2 + 8, 3t2 — 4). Приравнивая выражения для соответствующих координат точки Mo, получаем систему
-
2ti + 1 = t2 + 4, ( 2ti — t2 = 3,
-
3ti + 4 = 2t2 + 8, или < 3ti — 2t2 = 4, —2ti + 3 = 3t2 — 4, { 2ti + 3t2 = 7.
-
Это система трёх уравнений с двумя неизвестными ti и t2. Если система совместна, то прямые пересекаются, если несовместна, то не пересекаются. Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её. Первую строку умножим на (—3) и прибавим ко второй, умноженной на два. Затем первую строку вычтем из третьей. Вычёркиваем одну из двух пропорциональных строк.
-
" 2 —13 3 —2 4 _ 2 3 7
-
Видим, что ранг основной и расширенной матриц равен двум, т.е. система совместна, и прямые пересекаются. Исходная система эквивалентна системе
-
Г 2ti — t2 = 3,
-
—t2 = —1.