16. Визначити, чи існує А-цифрове натуральне число, j-й степінь суми цифр якого дорівнює йому самому.

17. Знайти перші n простих чисел.

18. Знайти найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне двох натуральних чисел.

19. З'ясувати, скільки існує j-цифрових чисел, остачі яких при діленні на дані цілі числа однакові.

20. Записати ціле число в системі числення з основою р.

21. У старояпонському календарі кожен з 12-ти послідовних років має назву тварини (пацюк, бик, тигр, заєць, дракон, змія, кінь, вівця, мавпа, півень, собака, кабан), а кожен з 5-ти має колір (зелений, червоний, жовтий, синій, чорний). З'ясувати, як називається рік n, якщо 1984 рік – рік зеленого пацюка.

22. Знайти чисельник і знамен­ник нескоротного дробу-частинної суми гармонійного ряду.

23. Дано основи двох систем числення. За відомим записом цілого числа в одній системі числення створити запис цього ж числа в іншій системі числення.

24. Дві арифметичні прогресії задано першими двома членами - натуральними числами. Розглянемо нову арифметичну прогресію - підпослідовність двох даних арифметичних прогресій з найменшою за абсолютною величиною різницею прогресії (серед підпослідовностей). Знайти суму перших n членів утвореної арифметичної прогресії.

25. Знайти період дробу р/g у десятковій системі числення, де р, g - натуральні числа.

26. Знайти кількість натуральних чисел, які менші від n та взаємно прості з ним. Переконатися, що отримане значення дорівнює , де добуток береться за всіма простими р, що є дільниками n.

22

27. З'ясувати, чи є серед даних n цілих чисел k попарно взаємнопростих (k= 2, 3, 4, ..., n).

Геометрія

28. З'ясувати, чи існує трикутник із да­ною градусною мірою двох внутрішніх кутів. Визначити його вид.

29. З'ясувати, чи існує чотирикутник з даними довжинами сторін. Чи може він бути: а) паралелограмом;

б) ромбом.

30. За радіусом вписаного (описаного) кола визначити сторону правильного трикут­ника.

31. Знайти об'єм конуса: а) за радіусом основи та висотою; б) за радіусом основи та твірною; в) за твірною та висотою.

32. З'ясувати, скільки трикутників мож­на утворити з відрізків даної довжини.

33. З'ясувати, чи можна прямокутний паралелепіпед з ребрами а, b, с проштовхну­ти через трубу з квадратним перерізом зі сто­роною d.

34. За сторонами трикутника обчислити його: а) площу; б) кути; в) медіани; г) висо­ти; д) бісектриси.

35. Дано площу круга та квадрата. З'я­сувати, чи можна: а) квадрат вписати в круг; б) круг вписати у квадрат.

36. Обчислити сторони трикутника: а) за висотами: б) за медіанами.

37. За сторонами трикутника обчисли­ти: а) радіус вписаного: б) радіус описаного; в) радіуси зовні вписаних кіл; г) довжини бісектрис внутрішніх кутів.

38. Дано площу круга та правильного n-кутника. Визначити, чи можна: а) много­кутник вписати в круг; б) круг вписати в мно­гокутник.

23