площиною ax + bу + сz+ d=0 у порядку обходу
по периметру.
66. Дано координати вершин
трикутної піраміди. Вказати
координати вершин
многокутника, що утворюється
в перерізі її площиною ах + bу
+ сz + d = 0 у порядку обходу по периметру.
67. Дано координати вершин
опуклого многограниика. Вказати
координати вершин многокутника, які і
утворюється в перерізі його площиною
ах + bу + cz + d = 0. У порядку
обходу по периметру.
68. Множина точок, заданих
координатами у прямокутній системі
координат, містить усі вершини опуклого
многогранника та деякі внутрішні точки
многограниика, його граней чи ребер.
З'ясувати: а) які точки є вершинами, а
які - ні; б) які пари вершин з'єднуються
ребрами, а які - ні; в) які вершини
належать одній грані; г) скільки вершин,
ребер та граней має многогранник.
69. Дано координати вершин
опуклого многогранника. Подати його у
вигляді об'єднання трикутних пірамід
з вершинами, що є вершинами даного
многогранника і не мають спільних
внутрішніх точок.
70. Відобразити на екрані
в центральній проекції рух (без обертання)
у напрямі до спостерігача: а) кулі; б)
куба;
в) тетраедра.
71. Відобразити на екрані
в паралельній або центральній проекції
обертання многогранника: а) не
виділяючи невидимих ребер; б) виділяючи
видимі ребра; в) з непрозорими
різнокольоровими гранями. Алгоритм
перевірити на кубі та тетраедрі.
72. З'ясувати, чи належить
дане число m відрізку [а;
b].
73. Поміняти місцями
значення двох величин, не використовуючи
нових ідентифікаторів.
26
через точки з
координатами (xl,
yl)
та (х2, у2).
Тоді коефіцієнти в рівнянні прямої
визначаються за формулами
А = у2-у1,В = х2-х1, С = у1*(х2-х1)-х1*(у2-у1).
Відстань від
точки до прямої.
Відстань d
від точки
(xl,
yl)
до прямої
Ах+Ву+С=0
визначається за формулою:
Точка перетину
двох прямих.
Дуже часто при розв'язуванні задач з
аналітичної геометрії виникає
необхідність визначити точки перетину
двох прямих. Нехай дві прямі задані
рівняннями: А1х+В1у+С1=0, А2х+В2у+С2=0. Для
знаходження точки перетину прямих
необхідно розв'язати систему з двох
рівнянь. Скориставшись теоремою
Крамера, ввівши допоміжні величини
d,
dx,
dy
після
перетворень, отримаємо формули:
Якщо d=0,
то прямі
паралельні (якщо С1*А2≠С2*А1)
або
співпадають (якщо С1*А2
= С2*А1). В
інших випадках
d≠0
прямі
перетинаються і координати точки
перетину визначаються за формулами:
Перпендикуляр
до прямої, що проходить через задану
точку.
Нехай пряма задана рівнянням Ах+Ву+С=0.
Коефіцієнти в рівнянні прямої, що
перпендикулярна даній прямій і проходить
через точку (xl,
yl),
визначаються
за формулами: А1=-В, В1=А, С1=Вх-Ау.
Обчислення
площі плоских фігур. Площа трикутника.
Для визначення площі трикутника за
відомими координатами вершин (або
довжинами) зручно скористатись формулою
Герона:
19Дійсні функції
.
;
;
,
де р-
це
півпериметр, що визначається
за формулою
Для визначення довжини сторін використаємо
формулу визначення відстані між двома
точками.
Основні
співвідношення в трикутнику.
Нехай задано прямокутний трикутник з
катетами a,
b
і гіпотенузою
с. Введемо позначення: А1
- кут, протилежний до катета а, В1
- кут протилежний до катета b.
Тоді за теоремою Піфагора с2=а2+b2
, а також справедливі співвідношення:
В Паскалі існують вбудовані
функції sin(x)
та cos(x),
але відсутня функція tg(x).
Тому для знаходження тангенса кута
необхідно скористатись співвідношенням:
Враховуючи дані співвідношення, легко
можна знайти:
a)
третю сторону,
знаючи дві сторони трикутника;
b) дві інші сторони
і кут, знаючи одну сторону і кут.
Аргумент х у
функціях sin(x),
cos(x)
та результат
у =
arctan(x)
є кути, що
вимірюються в радіанах, а не градусах.
Відповідно, щоб отримати кут в радіанах,
необхідно
скористатись співвідношенням
Основні
співвідношення в довільному трикутнику.
Нехай задано довільний
трикутник
зі сторонами а, b,
с. Введемо позначення:
А1
- кут, протилежний стороні а;
В1
- кут, протилежний стороні b;
С1
- кут, протилежний стороні с.
20
55. Визначити, який з векторів
(xj, yj);(хk,
уk):
а) найдовший; б) найкоротший;
в) утворює з віссю абсцис найменший
кут; г) утворює з віссю ординат найменший
кут (j, k =
1,2, 3, ... , n).
56. Визначити, якою
нерівністю задається півплощина,
обмежена прямою, що проходить через
точки (х1, у1) та
(х2, у2) і містить точку (а,
b).
57. З'ясувати, як розташована
точка (х,у) відносно трикутника з
вершинами А(х1, у1), В(х2,
у2), С(х3, у3).
58. За коефіцієнтами
рівнянь сторін кута визначити коефіцієнти
рівнянь бісектрис.
59. За коефіцієнтами
рівнянь двох площин визначити
коефіцієнти рівняння площини, точки
якої рівновіддалені від двох даних
площин.
60. З'ясувати, чи симетричні
точки( х1, у1,) та (х2,
у2,), відносно прямої ах + bу + с=0.
61. Визначити послідовність
вершин при обході сторін опуклого
n-кутника з вершинами (х1, у1),
(х2, у2), ..., (хn, уn).
62. Дано координати n
послідовних вершин замкненої ламаної
на координатній площині. Встановити,
чи має ламана самоперетини. Якщо ні, то
визначити площу фігури, обмеженої
ламаною. Для точки з відомими координатами
визначити, чи належить вона даній
фігурі.
63. А(0,0,0), В(1,0,0), С(0,1,0),
D(0,0,1) - вершини трикутної піраміди.
Вказати координати вершин многокутника,
що утворюється в перерізі її площиною
ах+bу+cz+d=0
у порядку обходу по периметру.
64. Координати вершин куба
в прямокутній системі координат
дорівнюють 0 або 1. Вказати координати
вершин многокутника, що утворюється
в перерізі його площиною
ах+bу+сz+d=0 у порядку
обходу по периметру.
65. Координати вершин куба
в прямокутній системі координат
дорівнюють 0 або 2. Центри його граней
- вершини октаедра. Вказати координати
вершин многокутника, що утворюється в
перерізі октаедра.
25
,
;
,
,
,
.
;
де А — кут у градусній мірі.